7.4.3二项分布的性质第6课时教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第 6 课时 7.4.3 二项分布的性质 （一）教学内容 二项分布的单调性、最大值、最小值. （二）教学目标 通过具体实例，借助散点图和概率分布直方图，观察二项分布的特征，推导 二项分布的性质，掌握取最值时 k 的取值，体会数形结合和转化思想，提高数学 抽象及数据分析的核心素养. （三）教学重点和难点 重点：推导二项分布的性质并运用. 难点：二项分布的最值取值. （四）教学过程设计 一、问题引入 问题 1：掷一枚质地均匀的硬币正面朝上的概率是多少？ 追问：掷 100 枚质地均匀的硬币最可能有多少枚硬币正面朝上？ 师生分析：学生回答掷一枚硬币正面朝上的概率为 0.5，根据直观感觉和生活经验猜测掷 100 硬币时最有可能有 50 枚正面朝上。 掷 100 枚硬币最可能有多少枚硬币正面朝上，即掷 100 枚硬币有多少枚硬币正面朝上时概率最大。设一枚掷硬币正面朝上的事件为 A，掷 100 枚硬币正面朝上的次数为 X，由于每次掷硬币的结果是相互独立的，则随机变量 X 服从二项分 布，且事件 A 成功的概率为 0.8，因此 X~B(100,0.5)。则离散型随机变量 X 的 分布列为 P( X =k) =C100k 0.5k (1- 0.5)100- k , k =0,1, 2,L ，100. 探究是否有 50 枚硬币正面朝上时概率最大，即探究 P(k)何时取到最大值。 引出新课：探究二项分布的性质。 设计意图：以学生熟悉的抛硬币的例子，通过设疑，引起学生兴趣。可以先 误导，引起学生的认知冲突，再解释分析题意，明确研究问题，随机变量 X 服 从二项分布 B(100,0.5)时，k 取何值时，P(X=k)最大？ 二、新课教学 师生活动：可以把 P( X =k) =C100k 0.5k (1- 0.5)100- k , k =0,1, 2,L ，100. 看成以 k 为自变量的函数 f (k) =C100k 0.5k (1- 0.5)100- k ，其定义域是{0，1，2，…，100}。可以利用散点图观察性质。 课前布置学生画出当掷硬币 10 次时的散点图, 通过动手实践，发现画图比较复杂，教师借助信息技术，利用信息技术画出 抛掷 100 枚质地均匀的硬币时的散点图，观察图象，抛掷 10 枚时当 k=5 时概率 最大，即最可能有 5 枚硬币正面朝上；即掷 100 枚硬币时，当 k=50 时概率最大， 最可能有 50 枚硬币正面朝上。 设计意图：通过学生熟悉的例子，猜测对于二项分布 B(n,p)，最可能值在 k =n2 处取到，引起认知冲突，激发学生的学习兴趣。 问题 2：将问题 1 一般化，假设随机变量 X 服从二项分布 B(n,p)，则该随机 变量 X 具有哪些性质？ 师生活动：当试验重复次数 n 和事件成功概率 p 发生变化时,我们仍然可以 · P( X =k) =Cnk pk (1- p)n- k , k =0,1, 2,L , n. 可以看成以 k 为自变量的函数 f (k) =Cnk pk (1- p)n- k ，其定义域是{0，1，2，…，n}，通过观察散点图，观察值 域、单调性、最值、奇偶性、对称性等性质。（教师展示三个动图：n 不变 p 变，n变 p 不变，n 和 p 同时变化） 学生观察动图，总结二项分布图象的特征： 1、 二项分布是一种离散型分布，图象是离散型图象 2、 二项分布的图象形状取决于 P 和 n 的大小 2、当 k 由 0 增加到 n，P(X=k)先增后减 设计意图：从特殊到一般，类比以往的学习经验（二项式系数、数列）研究二项分布的性质，强化学生的类比推理能力。 追问 1：通过图象观察，若 X~B(n，p)（0<p<1），当 k 由 0 增加到 n 时，P(X=k)先增后减，那么 k 取何值时，P(X=k)最大？ 师生活动：通过观察散点图可以看出二项分布散点图的变化趋势，从“形”的角度观察之后，如何从“数”的角度进行证明。 P(X=k)可以看做离散型函数，此时研究单调性不可以通过求导的方法，可以 类比数列的研究方法，比较前后两项的大小。 比较两项的大小可以利用作差法或者作商法。 其中作差法与 0 比较， a - b >0 Û a >b 、 a - b =0 Û a =b 、 a - b <0 Û a <b ， 如果 a, b >0, ，则可以将 ba 与 1 比较， ba >1 Û a >b 、 ba =1 Û a =b ba <1 Û a <b 。 · pk=P(X=k)， pk 和 pk-1 均大于 pk =Cnk pk (1- p)n- k , k =0,1, 2,L , n. pk - 1 =Cnk - 1 pk - 1 (1- p)n- k +1, k =0,1, 2,L , n.