7.4.2 超几何分布第5课时教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第 5 课时 7.4.2 超几何分布 （一）教学内容 超几何分布及其应用. （二）教学目标 结合具体实例，理解并掌握超几何分布的概念及其特点，会计算服从超几何 分布的随机变量的均值；能判断随机变量是否服从超几何分布，能利用超几何分 布解决简单的实际问题. （三）教学重点和难点 重点：超几何分布及其应用. 难点：在实际问题中抽象出模型的特征，识别超几何分布. （四）教学过程设计 问题：已知 100 件产品中有 8 件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机 抽取 4 件.设抽取的 4 件产品中次品数为 X ，求随机变量 X 的分布列. 师生活动：教师指出，如果采用有放回的抽样，则每次抽到次品的概率为 0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时 X 服从二项分布，即 X ~ B 4,0.08 . 教师提出思考：如果采用不放回抽样，那么抽取的 4 件产品中次品数 X 是 否也服从二项分布？如果不服从，那么 X 的分布列什么？ 学生思考、交流、讨论.教师进行指导. 采取不放回抽样，虽然每次抽到的次品的概率都是 0.08，但每次抽取不是 同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合 n 重伯努利试验的特征，因 此 X 不服从二项分布. 可以根据古典概型求 X 的分布列.由题意可知， X 可能的取值为 0，1，2，3，4. 从 100 件产品中任取 4 件，样本空间包含 C1004 个样本点，且每个样本点都是等可 能发生的.其中 4 件产品中恰有 k 件次品的结果数为 C8k C924 k .由古典概型的知识， 得 X 的分布列为 P X k Ck C4 k 8 92 , k 0 ，1，2，3，4. C4 100 计算的具体结果（精确到 0.00001）如下表 1 所示 表 1 X 0 1 2 3 4 P 0.71257 0.25621 0.02989 0.00131 0.00002 设计意图：通过具体的问题情境，复习二项分布，同时引入本节课所研究的内容，发展学生的数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养. 1.概念生成 如果把上面的 100 件产品改成 N 件产品，含有的 8 件次品改成 M 件次品，抽取 4 件产品改成抽取 n 件产品（不放回），用 X 表示抽取的 n 件产品中的次品数，则 X 的分布列为 P X k CMk CNn kM ， k m ， m 1，…， r . CNn 其中 n ， N , M N , M N , n N , m max 0, n N M , r max n, M . 如果随机变量 X 的分布列具有上式形式，那么称随机变量 X 服从超几何分布. 设计意图：让学生体会从特殊到一般的抽象过程，发展学生的数学抽象核心 素养. 问题：你知道超几何分布中各个字母所代表的具体含义吗？ 学生思考、交流，教师进行指导，得出各个字母的含义： N 表示总体中的个体总数， M 表示总体中的特殊个体总数， n 表示样本容量， k 表示样本中的特殊个体数. 1. 典例解析 · 1 从 50 名学生中随机抽取 5 名学生代表，求甲被选中的概率. 师生活动：由于学生已经学习了古典概型和排列组合的相关知识，对于这道 题的解答并不困难，教师可以恰当的进行引导，将 50 名学生看成总体，甲 是总体中的特殊个体，选出的 5 人是样本总数.这样的话，设 X 为 5 人中含甲的 人数，则 X 服从超几何分布，那么甲被选中即为 X 1 的情况 P X 1 C1C 4 1 1 49 . C505 10 教师进一步指出：本题中，每个人被抽到的概率都是 101 .简单随机抽样可以保证每个个体被抽到的概率是相等的，本题相当于给出了严格的指导. 设计意图：通过具体的实例，深化学生对概念的理解，发展学生的数学运算和数学建模核心素养. · 2 一批零件共 30 个，其中有 3 个不合格.随机抽取 10 个零件进行检测，求至少有一个不合格的概率. 师生活动：本题学生很容易判断出来是符合超几何分布模型的，可以交给学生自主完成.教师可以找几名学生上黑板作答，然后进行点评，给出本题的完整解题过程. 解：设抽取的 10 个零件中不合格品数为 X ，则 X 服从超几何分布，且 N 30 , M 3 , n 10 . X 的分布列为 P X k C3k C273 k ， k 0 ，1，2，3. C3010 至少有一件合格品的概率为 P X 1 P X 1 P X 2 P X 3 C31C279