7.3.2离散型随机变量的方差第3课时教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第 3 课时 7.3.2 离散型随机变量的方差 （一）教学内容 离散型随机变量的方差与标准差的概念，离散型随机变量方差的性质及应用. （二）教学目标 1.通过具体实例，理解取有限值的离散型随机变量的方差的概念，体会引入 方差的必要性，发展学生的数学抽象素养. 2.通过具体实例，掌握离散型随机变量的方差的运算方法，体会方差简化公 式与性质在方差运算上的便捷性，发展学生的逻辑推理和数学运算素养. 3.通过具体实例，理解方差的意义，体会在不同问题背景下方差与标准差所 反映的含义，发展学生的数学建模素养. （三）教学重点和难点 重点：离散型随机变量方差的概念、性质及应用. 难点：离散型随机变量方差意义的理解. （四）教学过程设计 1.情境导入 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、 乙两名同学击中目标靶的环数 X 和Y 的分布列如下表 1 和表 2 所示： 表1 表2 X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 如何评价这两名同学的射击水平？ 问题 1：结合前一节所学知识，你会从什么角度来评价这两名同学的射击水 平？ 离散型随机变量的均值，反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋 势”，均值越大，说明相应同学击中目标靶的环数就越大．通过上一环节的学习， n 我们知道离散型随机变量均值的计算公式为 E( X ) =x1 p1 +x2 p2 +×××+xn pn =å xi pi . i=1 结合情境数据，计算可得， E( X ) =6 ´ 0.09 +7 ´ 0.24 +8 ´ 0.32 +9 ´ 0.28 +10 ´ 0.07 =8, E(Y ) =6 ´ 0.07 +7 ´ 0.22 +8 ´ 0.38 +9 ´ 0.30 +10 ´ 0.03 =8. 因为 E( X ) =E(Y ) ，两个均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击 水平. 追问 1：除了击中环数的均值外，我们还可以从哪些角度来评价这两名同学 的射击水平？ 稳定性，即选手射击击中目标靶环数的离散程度． 师生活动：通过问题形式引导学生当均值不能比较这两位同学的射击水平时还可以考虑从成绩的稳定性角度去评价. 设计意图：通过学生熟悉的生活实例引入新课，提高学生的数学学习兴趣，让学生体会引入方差的必要性. 2.新知探究 根据两位同学击中环数 X , Y 的分布列，作出 X , Y 的概率分布图，结合图来尝 试直观判断两位同学的射击稳定性． X ,Y 的概率分布图如下: 追问 2：比较以上两个图形，你认为哪位同学的射击成绩更稳定？ 由图可知，乙同学的射击水平相对于甲同学更稳定. 设计意图：通过概率分布图让学生直观感受哪位同学的射击成绩更稳定,发 展学生的直观想象素养. 问题 2：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？ 追问 1：在统计中，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，你知道样本方差是如何度量一组样本数据的离散程度的吗？ 样本方差是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的 ． 比如：一组样本数据 x1 , x2 ,×××,xn ，设其均值为 x ， 则其方差即为 (x1 - x)2 ,(x2 - x)2 ,×××,(xn - x)2 的平均值，即 s2 =1n [(x1 - x)2 +(x2 - x)2 +×××+(xn - x)2 ] . 追问 2：类比样本方差度量样本数据离散程度的方法，你能否给出度量离散型随机变量离散程度的表达式？ (x1 - E( X ))2 p1 +(x2 - E( X ))2 p2 +×××+(xn - E( X ))2 pn 追问 3：你能解释上述表达式是如何反映离散型随机变量的离散程度的吗？ 上述式子值越大，说明随机变量取值相对于均值的偏离程度就越大；值越小， 说明随机变量取值相对于均值的偏离程度就越小. 师生活动：教师引导学生先从概率分布图直观的评价两名同学射击成绩的稳 定性，然后类比样本方差刻画样本数据稳定性的方法，从而引出离散型随机变量 稳定性的刻画方法—离散型随机变量的方差 设计意图：类比样本方差的定义，引入离散型随机变量的方差，发展学生的数学抽象素养. 3.抽象概念 定义：一般地，称 D( X ) (x1 E( X ))2 p1 (x2 E( X ))2 p2 (xn E( X ))2 pn n (xi E( X ))2 pi 为随机变量 X 的方差，有时也记为Var( X ) ，并称 D( X ) 为随