7.1.1 条件概率 教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第 1 课时 7.1.1 条件概率 （一）教学内容 条件概率，概率的乘法公式. （二）教学目标 了解条件概率的概念，掌握条件概率的两个公式，并能用该公式计算条件概 率，掌握概率的乘法公式，并会简单的应用. （三）教学重点和难点 重点：条件概率与概率的乘法公式，由特殊到一般的研究方法. 难点：对条件概率中“条件”的正确理解,条件概率与无条件概率的比较. （四）教学过程设计 1.知识回顾 （1）古典概型的概率公式： P( A) A所包含的样本点个数 样本空间 包含的样本点总数 （2）当事件 A 与 B 相互独立时，有 P(AB) P(A)P(B)，如果事件 A 与 B 不 相互独立，如何表示积事件 AB 的概率呢? 2.情境引入 问题 1：某班级有 45 名学生，其中男、女生人数及团员的人数如表 1 所示. 表 1 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 在班级里随机选择一人做代表： （1）选到男生的概率是多少？ （2）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？ 师生活动：学生尝试利用古典概型自主完成上面的问题，并要求学生在每个问题中用符号表示样本空间和相关的事件,教师完善解题过程. 在问题（1）中，随机选择 1 人做代表，则样本空间 W包含 45 个等可能的样本点 .设 A =“ 选到团员 ” ， B =“ 选到男生 ” ，则有 n( A) =30 , n(B) =25 , n(W) =45 .根据古典概型知识可知，选到男生的概率 P(B) =2545 =95 . 对于问题（2），引导学生分析“在选到团员的条件下，选到男生”的概率 就是“在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生”的概率，记为 P(B | A) .此时相当于 · A 为样本空间来考虑事件 B 发生的概率，而在新的样本空间中事件 B 就是积事件 AB ，包含的样本点数 n( AB) =16 .根据古典概型知识可知： P(B | A) =nn((ABA)) =1630 =158 . 追问 1：事件 A 的发生是对样本空间产生了怎样的影响？ 追问 2：在新的样本空间中,事件 B 的样本点发生了什么样的变化？ 师生活动：教师引导学生思考、交流、总结. 设计意图：通过具体的实例，引入条件概率的直观概念，使学生认识到在事 · A 发生的条件下，会缩小样本空间，条件概率 P(B | A)本质上是在新的样本空间 A 中事件 AB 的概率，即 P(B A) nn((ABA)) . 问题 2：假定生男孩和生女孩是等可能的，现在考虑有两个小孩的家庭.随 机选择一个家庭，那么 （1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？ （2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率有多大？ 师生活动：在问题 1 的基础上,鼓励学生自主完成,尽可能规范解题步骤,然 后教师引导学生进行互动交流. 对于问题(1),它与抛掷硬币问题很相似,所以学生不难判断它满足古典概型, · A 表示事件“选择的家庭中有女孩”，B 表示“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，直接用古典概型的计算 P(B) nn((B)) 14 ； 对于问题(2),首先要引导学生分析所求的概率就是“在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生”的概率，记为 P(B | A). 此时 A 成为样本空间，事件 B 就是积事件 AB. 根据古典概型知识可知， P(B A) nn((ABA)) 13 . 追问：两个事件的概率计算中分子都是 1，它们表达的意义一样吗？ 设计意图：通过问题 1 和问题 2，引导学生发现对于一般的古典概型，在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率都是 P(B A) nn((ABA)) . 3. 抽象条件概率的概念 问题 3：结合以上两个问题，关于条件概率的计算，你能得出什么结论？ 师生活动：学生集体回答，教师整理，借助图 1 可知，若已知事件 A 发生， · A 成为样本空间.此时，事件 B 发生的概率是 AB 包含样本点数与 A 包含样本点数的比值，即 P(B A) nn((ABA)) . 图 1 追问：在古典概型下，该表达式还可以进行怎样的变形？ n( AB) 学生探索：又因为 P(B A) n( AB) n( ) P( AB) ，所以在事件 A 发生的条 n( A) n( A) P( A)