6.2.3＆6.2.4 组合和组合数-2023-2024学年高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第三册）

6.2.3＆6.2.4　组合和组合数 【考点梳理】 考点一、组合概念的理解 考点二、组合数（方程）的计算 考点三、组合数的性质及应用 考点四、实际问题中的组合计数问题 考点五、代数中的组合计数问题 考点六、几何组合计数问题 考点七、分组分配问题 考点八、x+y+z=n的整数解的个数 考点九、其它组合计数问题 考点十：组合的综合问题 【知识梳理】 知识点一　组合及组合数的定义 1．组合 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． 知识点二　排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 关系 组合数C与排列数A间存在的关系 A＝CA 知识点三　组合数公式 组合数 公式 乘积 形式 C＝， 其中m，n∈N*，并且m≤n 阶乘 形式 C＝ 规定：C＝1. 知识点四　组合数的性质 性质1：C＝C. 性质2：C＝C＋C. 【题型归纳】 题型一、组合概念的理解 1．（2023下·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 2．（2023下·山西晋中·高二校考期中）下列问题中不是组合问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线 C．集合的含有三个元素的子集有多少个 D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法 3．（2021·高二课时练习）以下四个问题，属于组合问题的是（    ） A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地 题型二、组合数（方程）的计算 4．（2024上·吉林·高二校联考期末）计算的值是（    ） A．62 B．102 C．152 D．540 5．（2022上·辽宁葫芦岛·高二兴城市高级中学校联考阶段练习）已知，则x=（　　） A．3或10 B．3 C．17 D．3或17 6．（2023上·高二课时练习）（1）计算：①＝ ； ②＝ ． 题型三、组合数的性质及应用 7．（2023上·福建宁德·高二统考期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． A．6 B．7 C．8 D．9 9．（2023上·河南驻马店·高二统考期末）关于的方程的解为（    ） A． B． C．且 D．或 题型四、实际问题中的组合计数问题 10．（2022下·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）如图为某地街道路线图，甲从街道的处出发，先到达处与乙会和，再一起去到处，则可以选择的最短路径条数为（    ）    A．20 B．18 C．12 D．9 11．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）某同学寒假期间想到咸阳市的9个旅游景点乾陵、茂陵、汉阳陵、袁家村、郑国渠、昭陵、旬邑马栏革命旧址、长武亭口活动旧址、泾阳安吴青训班中的3个景点进行旅游，其中旬邑马栏革命旧址、长武亭口活动旧址、泾阳安吴青训班三个景点为红色旅游景点，则他所去的景点中至少包含一个红色旅游景点的概率是（    ） A． B． C． D． 12．（2024上·江西萍乡·高二统考期末）有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（    ） A．462 B．630 C．672 D．882 题型五、代数中的组合计数问题 13．（2024上·江苏常州·高二常州高级中学校考期末）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字中任意取出三个不同的数，若这三个数的和为不小于9的奇数，则不同的取法有（    ）种. A．54 B．53 C．47 D．46 14．（2024上·江苏常州·高二常州市第一中学期末）在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是（　　） A．120 B．204 C．168 D．216 15．（2023下·北京东城·高二景山学校校