空间向量及其运算学案-2024届高三数学一轮复习

空间向量及其运算 【课标要求】 1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示; 2.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示; 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 【学习目标】 1.熟记空间向量的线性运算及其坐标表示 2.熟记空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断、证明向量的共线与垂直 【自主复习】 1.有下列4个命题: ①若,则与，共面; ②若与，共面,则; ③若,则P,M,A,B共面; ④若P,M,A,B共面,则. 其中真命题的个数是　(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 问题1：试描述共线向量基本定理、共面向量基本定理 问题2：证明三个向量共面（或四点P、A、B、C共面）有几种方法？ 2． 已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影的数量为（ ） A．2 B． C． D． 问题1：空间向量数量积的几何意义是什么？ 问题2：空间向量的数量积有哪些性质？ 3．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M在上且,N为B1B的中点,则为　(　　) A. B. C. D. 问题1：借助向量求两点间的距离或线段长的方法？ 问题2：空间向量的坐标运算法则？加法？减法？数乘？数量积？夹角公式？ 问题3： 【合作探究】 考点一　空间向量的线性运算 例1. 如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设,,,M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用，，表示以下各向量：(1)；(2) . 变式：如图所示,已知四面体ABCD每条棱长都等于a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于的是(　　) A.2 B.2 C.2 D.2 考点二：空间向量的坐标运算及数量积的应用 例2.已知=(1,0,-1),=(-1,1,2).①与夹角的余弦值为　　　　; ②若与平行,则k=　　　　; ③若与垂直,则k=　　　　. 变式：已知O为坐标原点,=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),若点M在直线OC上运动,则的最小值为　　　　.  ( 1 ) ( - 1 - ) 学科网（北京）股份有限公司 ( 1 ) 拓展:如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,AA1=2,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1A的中点. (1) 求的模; (2)求cos<,>的值; (3)求证:A1B⊥C1M. 【当堂检测】 三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设. （1）试用，，表示向量； （2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长. （3）在（2）的条件下求与的夹角的余弦值. 【整理反刍】 【巩固训练】 1.已知空间三点A(0,2,3),B(2,5,2),C(-2,3,6),则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为__________.  2.已知P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,M在线段PC上,N在线段PD上,且PM=2MC,PN=ND,若则x+y+z=　　　　.若点G为ΔPCD的重心，用向量表示 3．若向量,，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为_______． 山东省昌乐一中 高二数学一轮复习《空间向量及其运算》学案 编号06 编制 审核 潘春燕 审批 常乐平 4.设A、B、C、D是空间不共面的四个点，且满足，，， 则△BCD的形状是(　　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 5.如图，已知各面均为平行四边形的四棱柱，E,F,G,H分别是棱,,和AB的中点，求证:E,F,G,H四点共面． B组 6．正方体的棱长为是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是______ 【高考链接】 (2021年新高考T12)在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 $$