第02讲 二次根式的乘除（重难点突破） -【冲刺满分】2023-2024学年八年级下册数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教版）

第02讲 二次根式的乘除 【知识点一、二次根式的乘法法则】 （1）一般地，二次根式的乘法法则是： 语言叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变． 在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件． 推广：①． ②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数； ③乘法交换律和结合律以及乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的乘法中仍然可应用． （2）二次根式乘法法则的逆用 ． 语言叙述：积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积． 公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0．实际上，a≥0，b≥0是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可． 二次根式乘法法则的逆用也称为积的算术平方根，在进行二次根式的乘法运算时，这两个关系经常交替使用． 推广：． 运用这个性质可以化简二次根式：如果一个二次根式的被开方数有的因数（式）是完全平方数（式），则可以利用性质及将这些因数（式）“开方”出来，从而将二次根式化简． 利用积的算术平方根的性质化简的步骤： ①将被开方数进行因数分解或因式分解； ②应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开出来． 【知识点二、二次根式的除法法则】 （1）一般地，二次根式的除法法则是： 语言叙述：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变． 注意：①a≥0，b>0时，式子才成立，若a，b都是负数，虽然有意义，但在实数范围内无意义；若b=0，则号无意义． ②如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数． ③二次根式的运算结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式． （2）二次根式除法法则的逆用 ★语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根． 公式中的a，b表示的代数式必频满足a≥0，b>0，a≥0，b>0是限制公式右边的，对公式的左边，只要且即可． 利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为“（a≥0，b>0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可． 【知识点三、最简二次根式】 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 拓展：分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化． 分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号．分母的有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜． 题型一 二次根式的乘法 1．计算（　　） A． B．4 C．2 D．1 【变式训练1-1】、下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】、计算的结果为(    ) A． B． C． D． 题型二 二次根式的除法 2．若则“□”中的运算符号是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-1】、一个长方形，面积为，一边长为，那么这条边的邻边长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】、方程的解为（　　） A． B． C． D． 题型三 二次根式的乘除混合运算 3．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-1】、计算的结果是（　　） A．1 B． C． D． 【变式训练3-2】、若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 题型四 最简二次根式的判断 4．下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-1】、下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【变式训练4-2】、下列二次根式不为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型五 化为最简二次根式 5．化简： ． 【变式训练5-1】、将化成最简二次根式为 ． 【变式训练5-2】、已知，化简： ． 题型六 已知最简二次根式求参数 6. 如果最简根式和是同类二次根式，则 【变式训练6-1】、若最简二次根式和可以合并，则的值为 ． 【变式训练6-2】、当 时，和两个最简二次根式是同类二次根式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次根式的乘除 【知识点一、二次根式的乘法法则