1.4 角平分线 第2课时课件2023-2024学年北师大版 八年级数学下册

第一章 三角形的证明 1 角平分线 第2课时 单击此处编辑母版文本样式 1.知道三角形三个内角平分线的性质. 2.会应用角平分线定理解决问题. 重点:角平分线定理的应用. 素养目标 单击此处编辑母版文本样式 同学们,请你们拿出一张纸,在纸上任意画一个三角形并剪下来.你能折出这张三角形纸片三个角的平分线吗? 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 三角形三个内角平分线的性质 阅读课本本课时“例2”中的内容,思考下列问题. 1.(1)为证明三条角平分线相交于一点,例2证法的思路是什么? 先作出两条角平分线的交点,再证明这个交点在第三条角平分线上. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 (2)“设∠ABC和∠BAC的角平分线相交于点P,证∠BCA的角平分线经过点P.”以上思路证明“三角形的三条角平分线相交于一点”可行吗? 可行. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 2.已知 ABC中,BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,且交于点P,若P到边AB的距离为3 cm, ABC的周长为18 cm,则 ABC的面积为 cm2. 归纳总结 三角形的三条角平分线交于一点,若设这一点到其中一边的距离为m,三边长分别为a、b、c,则三角形的面积S= .若三角形的周长为C,则三角形的面积S= . 27 m(a+b+c) mC 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 角平分线定理的应用 阅读课本本课时“例3”中的内容,思考下列问题. 1.(1)在例3中(1)问解法的启发下,你能求出AB的长吗? 能,在Rt ABC中,AC=(4+4)cm,由勾股定理有AB=== (4+4)=(8+4)cm. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 (2)根据AB的长,在证明AB=AC+CD时,你能想到其他的方法吗?并说明理由. 能,因为AC=(4+4)cm,CD=4 cm, AB=(8+4)cm,∴AB=AC+CD. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 2.如图,若将上题中条件“Rt ABC中,∠C=90 ,∠B=45 ”改为“ ABC中,∠C=2∠B”请问上题中的结论是否仍然成立?证明你的猜想. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 解:结论仍然成立. 理由如下:∵AD是∠CAB的角平分线, ∴将 CAD沿AD折叠,使点C落在AB边上的C'处, ∴ ACD≌ AC'D, ∴AC=AC',CD=C'D,∠C=∠1=2∠B. 又∵∠1=∠2+∠B,∴∠2=∠B, ∴C'D=C'B,∴AB=AC'+BC'=AC+CD, 即AB=AC+CD. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 归纳总结 证明一条较长的线段和两条较短线段相等时,常利用 的性质或 的方法,将两条较短线段转化到较长的线段上. 角平分线 折叠 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 如图,已知∠AOB,点M、N.求作一点P,使得它到∠AOB两边的距离相等,且到M、N两点的距离也相等.则点P为 . ∠AOB的平分线和MN的垂直平分线的交点 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流 三角形的内角平分线的交点有一个,外角平分线的交点有三个,它们到三条线段的距离都相等. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 如图,在 ABC中,∠ABC的平分线BD与∠ACB的外角平分线CE交于点P.求证:点P到三边AB、BC、CA所在的直线的距离相等. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 证明:如图,过点P作三边AB、BC、CA所在直线的垂线,垂足分别是Q、M、N.垂线段PQ、PM、PN,即点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 ∵P是∠ABC的平分线BD上的一点,∴PM=PQ. ∵P是∠ACM的平分线CE上的一点,∴PM=PN. ∴PQ=PM=PN.∴点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 如图, ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O,则S ABO∶S BCO∶S CAO= . 4∶5∶6 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 先阅读下面的材料,然后解答问题: 已知:如图1,等腰直角三角形ABC中,∠B=90 ,AD是角平分线,交BC边于点D. 求证:AC=AB+BD. 证明:如图1,在AC上截取AE=AB,连接DE,则由已知条件易知, ADB≌ ADE(SAS), ∴∠AED=∠B=90 ,DE=DB. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 又∵∠C=45 ,∴ DEC是等腰直角三角形.∴DE=EC.∴AC=AE+EC=AB+BD. 解决问题:现将原题中的“AD是内角平分线,交BC边于点D”换成“AD是外角平分线,交BC边的延长线于点D,如图2”,其他条件不变,请你猜想线段AC、AB、BD之间的数量关系,并证明你的猜想.