1.4 角平分线 第1课时2023-2024学年八年级北师大版数学下册

第一章　三角形的证明 1　角平分线　第1课时 单击此处编辑母版文本样式 　1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理. 2.会应用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题. ◎重点:角平分线的性质定理及其逆定理的证明.   素养目标 单击此处编辑母版文本样式 同学们,我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质,步骤如下:….从折纸过程中,我们可以得出CD=CE,即角平分线上的点到角两边的距离相等.你能证明它吗? 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 角平分线的性质定理  阅读课本本课时“想一想”之前的内容,思考下列问题. 1.书上证明PD=PE的思路是什么? 先证△PDO≌△PEO,再根据全等三角形的性质得出PD=PE. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 2.你还能想出其他的证明方法吗?并说明理由. 能,另证如下: ∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDA=∠PEB=90°.∵∠PDA=∠1+∠OPD,∠PEB=∠2+∠OPE,∠1=∠2,∴∠OPD=∠OPE.∵OP=OP,∴△PDO≌△PEO(ASA),∴PD=PE. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 归纳总结　 角平分线上的点到这个角两边的距离 　 　.  相等 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 角平分线的性质定理的逆定理 阅读课本本课时“想一想”至“随堂练习”之间的内容,思考下列问题. 1.角平分线的性质定理的条件是什么?结论呢? 条件:角平分线上的点;结论:这点到这个角两边的距离相等. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 2.交换1中的条件和结论,得到命题“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”,这个命题能作为角平分线的性质定理的逆命题吗?为什么? 不能作为角平分线的性质定理的逆命题,因为原命题中的点P位于角的内部,而得到的命题恰好忽视了这一点. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 归纳总结　 在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的　 　上.  平分线 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 导学建议· 学生在初学角平分线的性质定理和性质定理的逆定理时,往往不能正确区分,教师可引导学生分析定理的题设和结论帮助学生正确认识. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 如图,AD,AE分别是△ABC中∠BAC的内角平分线和外角平分线,它们有什么关系? 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 解:∵AD平分∠CAB, ∴∠BAD=∠CAD=∠CAB, 又∵AE平分∠CAF, ∴∠CAE=∠EAF=∠CAF,∵∠CAB+∠CAF=180°, ∴∠CAD+∠CAE=(∠CAB+∠CAF)=×180°=90°, 即AD⊥AE. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 阅读下面用尺规作角平分线的方法,请你说明OE为什么是∠AOB的平分线. 已知∠AOB,请用尺规作图的方法作出该角的平分线. (1)以O为圆心,以任意长为半径,画圆,交OA,OB于C,D两点. (2)分别以C,D为圆心,以大于CD的长为半径作圆弧,这两段圆弧相交于点E. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 (3)连接OE,则OE就是∠AOB的平分线. 解:由作法可知:OC=OD,CE=DE,又因为OE=OE,所以△OCE≌△ODE(SSS),所以∠COE=∠DOE,故OE就是∠AOB的平分线. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　判定一条射线是角平分线的方法有哪些? (1)看这条射线所分的两个角相等不相等;(2)看其中一个角是不是大角的二分之一;(3)看这条射线上的点到角两边的距离相等不相等. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 如图,两条笔直的公路l1、l2相交于点O,C村的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D,已知AB=BC=CD=DA=5公里,村庄C到公路l1的距离为4公里,则村庄C到公路l2的距离是多少公里? 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 解:如图,连接AC,CF⊥l1,CE⊥l2.  ∵AB=AD,BC=DC,OC=OC, ∴△OCD≌△OCB(SSS), ∴∠CAE=∠CAF, 即OC为∠EOF的角平分线, ∴CE=CF=4公里. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 【变式训练】如图,利用尺规求作所有点P,使点P同时满足下列两个条件:①点P到A,B两点的距离相等;②点P到直线l1,l2的距离相等.(要求保留作图痕迹,不必写出作法)   　　解:图略.提示:作∠AOB的角平分线或外角平分线,作AB的垂直平分线,取交点. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　角平分线和它的邻补角的平分线到这个角两边的距离都分别相等. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,AE平分∠DAC,EF⊥BC交AC于F,连接BF.求