7.3.1 正弦函数的性质与图象（2知识点+7题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第三册）

7.3.1 正弦函数的性质与图象 课程标准 学习目标 （1）掌握的周期性、奇偶性、单调性和最值； （2）会用正弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题； （3）会利用五点作图法画出正弦函数的图象。 （1）了解正弦曲线的画法，能正确使用“五点法”“几何法”作出正弦函数的图象，重点提升直观想象核心素养； （2）理解正弦函数的性质，会求正弦函数的周期、单调区间和最值，并能利用正弦函数的图象与性质解决相关问题，重点提升数学运算核心素养。 知识点01 正弦函数的性质 1、定义域与值域：定义域为，值域为 当且仅当，时，函数的最大值为； 当且仅当，时，函数的最大值为； 2、奇偶性：正弦函数是奇函数，其图像关于原点中心对称； 3、周期性：对于函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期；对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小整数就称为的最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期；函数的最小正周期为. 4、单调性：在上单调递增，在上单调递减（）； 5、正弦函数的零点：正弦函数的零点是 【即学即练1】（2024·内蒙古赤峰·高一统考期末）（多选）已知函数，则（ ） A．的最小正周期为 B．是奇函数 C．的图象关于直线轴对称 D．的值域为 知识点02 正弦函数的图像 1、图像 2、对称轴与对称中心：对称轴方程；对称中心（） 3、五个关键点：,,,, 4、注意事项：（1）作正弦函数图像时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量与函数值都为实数； （2）在精确度要求不高的情况下，“五点法”是一种实用、高效的作图方法，需要注意这五个点要用平滑的曲线连接，而不能用线段连接； （3）五个关键点是利用五点法作图的关键，要熟记并区分正弦函数图像中的五个关键点。 【即学即练3】（2023·高一课时练习）利用“五点法”作出函数的简图. 【题型一：五点作图法画正弦函数图象】 例1．（2024·全国·高一专题练习）用“五点法”作出下列函数，的简图： 变式1-1．（2023·河南·高一校考阶段练习）用五点法作出函数在一个周期内的图象 变式1-2．（2023·全国·高一随堂练习）画出下列函数在区间上的图象： （1）； （2）； （3）． 变式1-3．（2023·高一课时练习）作出函数，的大致图像． 变式1-4．（2024·高一课时练习）作出函数的大致图像. 【方法技巧与总结】 “五点法”作函数的图像 （1）列表：以正弦函数的五点为基础，列出函数的五点； （2）描点：将函数的五点在坐标系中描出来； （3）连线：利用平滑的曲线将点连接起来，注意不能用折线连接。 【题型二：与正弦函数有关的零点问题】 例2．（2023·山东东营·高一统考期末）方程的实数解的个数为（ ） A．1 B．3 C．5 D．7 变式2-1．（2023·江西赣州·高一校考期中）函数零点的个数（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2-2．（2023·浙江温州·高一温州市第五十一中学校考阶段练习）设为常数，且满足，且的的值只有一个，则实数的值为（ ） A．0 B．1 C．1或2 D．0或2 变式2-3．（2022·贵州遵义·高一遵义四中校考期中）已知函数，则方程在的解的个数为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 变式2-4．（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）已知，函数在零点的个数最大值为 ． 【方法技巧与总结】 图象法研究正弦函数的零点问题的解题思路 （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； （2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数 【题型三：由正弦函数图象解不等式】 例3．（2024·全国·高三专题练习）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 变式3-1．（2024·北京东城·高一统考期末）已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 变式3-2．（2023·河北保定·高一定州市第二中学校考开学考试）函数的定义域为 ． 变式3-3．（2023·高一课时练习）观察正弦函数的图像，可得不等的解集为 ． 变式3-4．（2024·重庆·高一重庆一中校考期末）函数的定义域是（ ）