数学（广东专用，2024新题型）-学易金卷：2024年高考第二次模拟考试

2024年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知各项均为正数的等比数列中，若，则＝（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 2．已知符号函数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念，要求两名男生不相邻，两名女生也不相邻，老师不站在两端，则不同的排法共有（    ） A．48种 B．32种 C．24种 D．16种 7．已知为不共线的平面向量，，若，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的偶函数满足：当时，，且，则方程实根个数为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是的共轭复数，则（    ） A．若，则 B．若为纯虚数，则 C．若，则 D．若，则集合所构成区域的面积为 10．关于下列命题中，说法正确的是（   ） A．若事件A、B相互独立，则 B．数据63，67，69，70，74，78，85，89，90，95的第45百分位数为78 C．已知，，则 D．已知，若，则 11．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则(    )    A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B．存在点Q，使平面MBN C．过Q，M，N三点的平面截正方体所得截面面积的取值范围为 D．经过C，M，B，N四点的球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合，，则的子集个数为 . 13．函数，如果为奇函数，则的取值范围为 14．在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，过的直线与的左､右两支分别交于两点，若，则的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，二面角为直二面角. (1)求证：； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值. 16．（15分）2023年11月，世界首届人工智能峰会在英国举行，我国因为在该领域取得的巨大成就受邀进行大会发言.为了研究不同性别的学生对人工智能的了解情况，我市某著名高中进行了一次抽样调查，分别抽取男､女生各50人作为样本.设事件“了解人工智能”，“学生为男生”，据统计. (1)根据已知条件，填写下列列联表，是否有把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关？ 了解人工智能 不了解人工智能 合计 男生 女生 合计 (2)①现从所抽取的女生中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机选取3人赠送科普材料，求选取的3人中至少有2人了解人工智能的概率； ②将频率视为概率，从我市所有参与调查的学生中随机抽取20人科普材料，记其中了解人工智能的人数为X，求随机变量的数学期望和方差. 参考公式：.常用的小概率值和对应的临界值如下表： 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17．（15分）设曲线在点处取得极值. （1）求的值； （2）求函数的单调区间和极值. 18．（17分）已知等轴双曲线的顶点分别是椭圆的左、右焦点、. （1）求等轴双曲线的方程； （2）为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为，和，，求的最小值. 19．（17分）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于