6.2.4.1向量的数量积讲义(一)-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.4　向量的数量积 6.2.4.1　向量的数量积(一) 知识点梳理 一、两向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. (2)显然，当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 二、两个向量的数量积 (1)平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. (2)向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 ①a·e＝e·a＝|a|cos__θ. ②a⊥b⇔a·b＝0. ③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. ④|a·b|≤|a|·|b|(当且仅当向量a，b共线时，等号成立). ⑤cos θ＝. 三、投影向量 投影向量 如图(1)，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，这种变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. 　　 图(1)　　　　　　　图(2) 如图(2)，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos__θ__e. 典例分析 例1 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 训练1 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 例2 已知正三角形ABC的边长为1，求： (1)·；(2)·； (3)·. 训练2 (1)在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·的值等于(　　) A.－2 B.2 C.－2 D.2 (2)已知向量a，b均为单位向量，a·b＝，则a与b的夹角为________. 例3 (1)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b方向上的投影向量是(　　) A.－4e B.4e C.－2e D.2e (2)已知a·b＝16，e为b方向上的单位向量.若a在b上的投影向量为4e，则|b|＝________. 训练3 已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝12，b方向上的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为________. 课后训练 1.已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于(　　) A.3 B.－3 C.－3 D.3 2.在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是(　　) A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 3.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角.则当小车向前运动10 m时，力F做的功为(　　) A.100 J B.50 J C.50 J D.200 J 4.(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中正确的是(　　) A.若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 B.向量a与向量b夹角的范围是[0，π) C.若a⊥b，则a·b＝0 D.|a|＝ 5.(多选)已知向量a，b和实数λ，则下列选项中正确的是(　　) A.若a与b是两个单位向量，则a2＝b2 B.|a·b|＝|a||b| C.λ(a＋b)＝λa＋λb D.|a·b|≤|a||b| 6.设|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为________. 7.已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为30°，则b在a上的投影向量的模是______. 8.在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于________. 9.已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e. (1)求a·b； (2)求a在b上的投影向量. 10.如图，已知△ABC是等边三角形. (1)求向量与向量的夹角； (2)若E为BC的中点，求向量与的夹角. 11.(多选)下列说法正确的是(　　) A.向量a在向量b上的投影向量可表示为· B.若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是 C.若△ABC是等边三角形，则，的夹角为60° D.若a·b＝0，则a⊥b 12.定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|