（奥数典型题）第四讲 正比例和反比例（培优讲义）2023-2024学年六年级下册数学思维拓展提升讲义（人教版）

第四讲 正比例和反比例 板块一：趣味数学 开心蛙摘桃子 开心蛙摘了一筐桃子，第一天吃掉这筐桃子的一半，第二天吃剩下的一半，第三天又吃了再剩下的一半，这时候筐里还有3个桃子，开心蛙一共摘了几个桃子？ 【答案】 24个 板块二：知识精讲 1、正比例的意义。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，那么这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作整理比关系。 如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比例（一定），那么正比例关系用式子表示为（一定）。 2、判断两种量是否成正比例关系的方法。 （1）确定这两种量是不是相关联系的量；（2）确定这两种量的比值是否一定；（3）根据比值是否一定进行正确判断。 3、正比例的图像。 正比例图像是一条从原点出发的射线。从图像中可以直观地看到两种量地变化情况，可以不用计算，由一个量的值就能直接找到相对应的另一个量的值。 4、反比例的意义。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），那么反比例关系可以表示为xy=k（一定）。 5、判断两种两是否成反比例关系的方法。 （1）看两种量是不是相关联的量；（2）看两种量相对应的数积是否一定，若积一定，则成反比例关系；若积不一定，则不成反比例关系。 板块三：典例好题 例题1：中国自主研发的标准动车组“复兴号”达到了世界先进水平，从北京到济南全程约490km，仅需1.4小时到达。照这样计算，北京到上海全程约1400km，需要几小时到达？（用比例知识解答） 【分析】由题意可知，动车组“复兴号”速度是恒定不变的，根据路程＝速度×时间可得，在速度一定的情况下，路程与时间成正比例关系；设北京到上海需要的时间为未知数x，则可列出比例式：，即可得出答案。 【详解】解：设需要x小时到达。 答：北京到上海全程需要4小时到达。 【点睛】本题主要考查的是正比例关系，解题的关键是确定速度是一定的，路程和时间成正比例关系，列出比例式即可得出答案。 练习1： 1．六年级办公室进一包白纸，计划每天用20张，可以用28天。由于注意了节约用纸实际每天比计划少用4张，实际用了多少天？ 2．装订一批练习本，如果每本用纸24页，可以装订250本；如果每本用纸30页，可以装订多少本？（用比例知识解答） 3．我国自行研制的“运”飞机运载量大，性能优越。下表是某架“运”飞机的运输时间和飞行距离的情况。 运输时间时 1 2 3 4 5 6 飞行距离/千米 600 1200 1800 2400 3000 3600 （1）“运”飞机的运输时间和飞行距离成什么比例？为什么？ （2）根据上表，把运输时间与飞行距离所对应的点在图中描出来，并连线。 （3）“运”飞机飞行45小时，可以飞行多少千米？ 例题2： 某物流公司将120吨货物运往一加工厂，如果要一次把所有货物全部运出，车辆的载重量与所需车辆的数量如下表。 载重量/吨 2.5 3 5 10 数量/辆 48 40 _____ _____ （1）将上表填写完整。 （2）车辆的载重量和所需车辆的数量成什么比例关系？为什么？ （3）如果用载重量为6吨的卡车来运，一共需要多少辆？ 【分析】（1）已知货物总吨数是120吨，根据所需的车辆数量＝货物的总吨数÷车辆的载重量，即可求出统计表中载重量是5吨、10吨时所需的车辆数量，进而把表格填完整。 （2）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 （3）用货物的总吨数除以车辆的载重量，即可求出所需车辆的数量。 【详解】（1）120÷5＝24（辆） 120÷10＝12（辆） 如下表： 载重量/吨 2.5 3 5 10 数量/辆 48 40 24 12 （2）2.5×48＝3×40＝5×24＝10×12＝120（一定） 乘积一定，车辆的载重量与所需车辆的数量成反比例关系。 （3）120÷6＝20（辆） 答：一共需要20辆。 【点睛】本题考查正、反比例的意义及辨识方法，同时能运用统计表中提供的信息解决问题。 练习2： 1．陈明读一本故事书，前4天一共读了96页，照这样的速度，读完这本故事书一共需要15天，这本故事书一共有多少页？（用比例解） 2．我校食堂买来1200千克大米，6天吃了180千克，照这样计算，剩下的还能吃几天？（用比例解） 3．一间房子要用方砖铺地，用边长为3分