1.3 线段的垂直平分线 课件 2023—2024学年北师大版数学八年级下册

3 线段的垂直平分线 第一章 三角形的证明 目 录 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 线段的垂直平分线的性质 线段的垂直平分线的判定.（重点、难点） 学习目标 新课导入 线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 什么叫线段的垂直平分线？ 新课讲解 知识点1 线段的垂直平分线的性质 探究 如图, 直线l垂直平分线段 AB，P1, P2, P3, ……是l上的点，请你猜想点P1，P2, P3, …到点 A与点B的距离之间的数量关系. A B l P1 P2 P3 新课讲解 可以发现，点 P1，P2, P3,…到点A的距离与它们 到点B的距离分别相等.如果把线段AB沿直线l对折， 线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段 P3A与P3B…… 都是重合的，因此它们也分别相等. 新课讲解 线段的垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的 距离相等.利用判定两个三角形全等的方法，也可以 证明这个性质. 新课讲解 例 典例分析 如图,直线l⊥AB，垂足为C，AC = CB，点P在 l上.求 证PA=PB. 证明：∵ l ⊥AB， ∠PCA=∠PCB. 又 AC=CB, PC=PC， ∴△ PCA ≌△ PCB (SAS). ∴PA=PB. A B P C l 新课讲解 定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 距离相等. 新课讲解 已知：如图,直线MN⊥AB垂足为C，且AC＝BC，P是MN上的任意一点. 求证：PA＝PB ∵MN⊥AB， ∴ ∠PCA ＝∠PCB＝90°. ∵ AC＝BC，PC＝PC, ∴△PCA ≌△PCB ( SAS ). ∴PA＝PB (全等三角形的对应边相等） 证明： 新课讲解 1．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等； 条件：点在线段的垂直平分线上； 结论：这个点到线段两端点的距离相等． 表达方式：如图，l⊥AB，AO＝BO，点P在l上，则 AP＝BP. 2．作用：可用来证明两线段 相等． 新课讲解 例 典例分析 如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(　　) A．AB＝AD　　　　　　　　　 B．AC平分∠BCD C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC C 新课讲解 分析： 根据线段垂直平分线的性质得出AB与AD的关系， 结合三角形全等进行逐一验证四个选择项求解． ∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BC＝CD. 又∵AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC. ∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA. 又∵BC＝DC，CE＝CE， ∴△BEC≌△DEC. ∴选项A，B，D正确． 新课讲解 例 典例分析 如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE交AB，AC于点E，D. (1)若△BCD的周长为8，求BC的长； (2) 若BC＝4，求△BCD的周长． 分析： 由DE是AB的垂直平分线，得AD＝BD，所以BD与CD的长度和等于AC的长，所以由△BCD的周长可求BC的长，同样由BC的长也可求△BCD的周长． 新课讲解 解： ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD. ∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5. (1)∵△BCD的周长为8， ∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3. (2)∵BC＝4， ∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9. 新课讲解 例 典例分析 如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则∠BCD＝________． 分析： 在△ABC中，∵∠B＝90°， ∠A＝40°， ∴∠ACB＝50°. ∵MN是线段AC的垂直平分线， ∴DC＝DA. ∴∠DCE＝∠A＝40°. ∴∠BCD＝∠ACB－∠DCA＝50°－40°＝10°. 10° 新课讲解 练一练 1.已知：如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上的两点. 求证∠ECF＝∠EDF. 证明： 因为AB是线段CD的垂直平分线， 所以EC＝ED，FC＝FD. 在△ECF和△EDF中， 所以△ECF≌△EDF(SSS)． 所以∠ECF＝∠EDF. 新课讲解 2.如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，AC＝CE，点B，D，C，E在同一直线上，则AB＋BD与DE的关系是(　　) A．AB＋DB＞DE B．AB＋DB＜DE C．AB＋DB＝DE D．不能确定 C 新课讲解