1.2 第1课时 直角三角形的性质与判定 课件 2023—2024学年北师大版数学八年级下册

2 直角三角形 课时1 直角三角形的性质与判定 第一章 三角形的证明 目 录 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 直角三角形中角的关系 直角三角形中边角关系 逆命题和逆定理.（重点、难点） 学习目标 新课导入 三角形的分类 按边分类 按角分类 新课导入 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 —有一个角是钝角 三角形按角的分类 —三个角都是锐角 —有一个角是直角 生活中用到直角三角形的例子很多 三角形 新课讲解 知识点1 直角三角形中角的关系 想一想 (1) 直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？ 如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形 是直角三角形吗？为什么？ 新课讲解 定理　　直角三角形的两个锐角互余. 定理　　有两个角互余的三角形是直角三角形. 新课讲解 例 典例分析 如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC于点D，AE为∠BAC的平分线，求∠DAE的度数． 新课讲解 由题意可知， ∠BAC＝180°－∠B－∠C ＝180°－30°－70°＝80°. ∵AE为∠BAC的平分线， ∴∠CAE＝∠BAE＝ ∠BAC＝40°. ∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°. ∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°. ∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°. 解： 新课讲解 练一练 1.小明把一副含45°，30°的直角三角尺如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于(　　) A．180° B．210° C．360° D．270° B 新课讲解 知识点2 直角三角形中边角关系 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方. A C B 新课讲解 反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.下面我们证明这个结论. 已知：如图 (1)，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2. 求证：△ABC是直角三角形 新课讲解 证明： 如图(2) ，作Rt △A′B′C′ ，使 ∠A′＝90° A′B′＝AB, A′C′＝AC, 则A′B′ 2＋A′C′ 2 ＝B′C′ 2（勾股定理）. ∵AB2＋AC2＝BC2 ， ∴BC2 ＝ B′C′ 2. ∴BC ＝ B′C′. ∴△ABC≌ △A′B′C′ (SSS). ∴ ∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）. 因此， △ABC是直角三角形. 新课讲解 例 典例分析 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是(　　) A 新课讲解 分析：方法一： ∵∠C＝90°，∴AB2＝AC2＋BC2＝92＋122＝225. ∴AB＝15. 过点C作CD⊥AB于点D，设AD＝x，则BD＝15－x. 在Rt△ACD中，CD2＝AC2－AD2＝92－x2. 在Rt△BCD中，CD2＝BC2－BD2＝122－(15－x)2. ∴92－x2＝122－(15－x)2，解得x＝5.4. ∴CD2＝92－5.42＝51.84. ∴CD＝7.2＝ ，即点C到AB的距离为 . 新课讲解 方法二：过点C作CD⊥AB于点D， 则S△ABC＝ AC·BC＝ AB·CD， ∴AC·BC＝AB·CD.又由方法一知AB＝15， ∴CD＝ 　　，即点C到AB的距离为　　. 新课讲解 练一练 1.在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝3，求AB的长. 因为∠A＝∠B＝45°， 所以△ABC为等腰直角三角形． 所以AC＝BC＝3. 所以 解： 新课讲解 2.已知：在△ABC中，AB＝13 cm，BC＝10 cm，BC边上的中线AD＝12 cm. 求证：AB＝AC. 如图， 因为AD是BC边上的中线， 所以BD＝ BC＝ ×10 ＝5(cm)． 解： 新课讲解 在△ABD中， 因为AB＝13 cm，AD＝12 cm，BD＝5 cm， 所以AB2＝AD2＋BD2. 所以△ABD为直角三角形．所以AD⊥BC. 在Rt△ADC中， AC＝ ＝13(cm)， 所以AB＝AC. 新课讲解 知识点3 逆命题和逆定理 观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个定理呢