上海市进才中学2023-2024学年高三下学期数学周测试卷1

2023-2024学年上海市进才中学高三年级下学期 周考数学试卷1 2024.2.22 一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1.已知集合，则______. 2.若直线与直线平行，则______. 3.已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点，且点的纵坐标为，则______. 4.设常数，若的二项展开式中项的系数为，则______. 5.已知，若这四个数的中位数为3，平均数为4，则______. 6.已知数列的前项和为，若，则______. 7.曲线在点处的切线方程为______. 8.从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件A表示“取到的2个数之和为偶数”，事件B表示“取到的2个数均为偶数”，则______. 9.我国古代数学家僧一行应用“九服暑影算法”在《大衍历》中建立了暑影长与太阳天顶距地对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，暑影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即，若对同一“表高”两次测量，“暑影长”分别是“表高”的2倍和3倍（所成角记为），则______. 10.已知二次函数的值域为，则的最小值为______. 11.已知为常数，若存在唯一的整数，使得关于的不等式组有解，则的取值范围是______. 12.如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练。已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小。若，则的最大值______.（仰角为直线与平面所成的角） 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.已知是非零实数，若，则下列不等式成立的是（ ）. A. B. C. D. 14.已知是虚数单位，，则“”是“”的（ ） A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分又非必要 15.已知数列满足，若有无穷多个项，则（ ） A. B. C. D. 16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，设椭圆方程，为其左右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点和点反射后，满足，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 三、解答题 (本大题满分76分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知为的内角所对的边，向量，且 （1）求 （2）若，的面积为，且，求线段的长 18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，是线段的中点 （1）求证：平面 （2）若垂直于平面且，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值. 19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A,B，乙被划分为两个不相交的区域C,D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为．假设共有两次来球且落在A,B上各一次，小明的两次回球互不影响，求： （1）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （2）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望． 20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知抛物线的方程为，焦点为，准线为，直线与抛物线交于两点 （1）若，求的面积 （2）设直线过抛物线焦点，过两点的中点作平行于轴的直线依次交直线，于点，且分别为线段的三等分点，求直线的方程 （3）若，满足为垂足，问是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由。 21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知函数． （1）若，函数在其定义域上是增函数，求实数的取值范围； （2）设函数，若恒成立，求实数的取值范围； （3）设函数的图像与函数的图像交于点两点，过线段的中点作轴的垂线分别交于点，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由．