数列的单调性与最值课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

数列的单调性及其最值 复习回顾： 数列定义：按照确定的顺序排列的一列数称为数列 数列的项：数列中的每一个数 数列的一般形式：a1,a2,a3,...an,...,简记为{an} 通项公式 数列是一种特殊的函数，它是以正整数集或它的有限子集{1,2,...,n}为自变量的离散型函数 数列的图像是一群孤立的点 问题1：函数的单调性与最值是函数中最重要的两个性质 类比到数列，数列的单调性与最值如何定义？ 从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列称为递增数列 从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列称为递减数列 或 或 数列中的最大值----数列的最大项 数列中的最小值----数列的最小项 问题2：如何研究数列的单调性与最值？ 例1.已知函数 ， 设数列{an}的通项公式为an=f(n) （1）求证： . （2）{an}是递增数列还是递减数列？为什么？ 拓展1.数列{an}有没有最大项？最小项？ 可结合函数图像 利用数列的单调性可以找出数列的最大项，最小项 练习.根据下列数列{an}的通项公式，判断数列{an}的单调性,并求出数列{an}的最大、最小项。 （1） （2） （3） 例2. 数列{an}的通项公式an＝n2+λn(n∈N*)，若数列{an}为递增数列，求实数λ的取值范围． 例2. 数列{an}的通项公式an＝n2+λn(n∈N*)，若数列{an}为递增数列，求实数λ的取值范围． 变式1. 数列{an}通项公式为an=t.2n+(n-1)2, 若数列{an}为递减数列，求实数 t 的取值范围. 变式2. 小结： （1）数列单调性的判断 （2）数列最大项、最小项 （3）基本思想方法 （1） 证明：由已知可得， 因为，所以，所以 （2） 因为在R上是减函数，所以在R上是增函数，所以数列是递增数列 拓展2.若，则数列{an}的单调性如何？ 拓展3.若,则数列{an}的单调性又如何? 小结：解决数列单调性问题主要有两个方法 (1)数列是个特殊的函数，可以借助初等函数的单调性来解决 数列的单调性问题，必须注意数列的自变量是正整数； (2)作差an＋1－an，作商来比较相邻两项的大小， 研究数列的单调性． 考虑到数列自变量n∈N*，所以－<， 解得λ>－3，即实数λ的取值范围为(－3，＋∞)． 解法1函数f(x)＝x2＋λx的对称轴为x＝－， 解法2数列{an}为递增数列，所以an<an＋1(n∈N*)恒成立， 即n2＋λn<(n＋1)2＋λ(n＋1)化简得λ>－2n－1恒成立， 即λ>(－2n－1)max，因为{－2n－1}为单调递减数列， 当n＝1时，取得最大值－3，所以λ>－3， 即实数λ的取值范围为(－3，＋∞)． $$