1.4.3 诱导公式与对称 课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第一章 三角函数 1.4.3 诱导公式与对称 1.借助单位圆，推导出正弦、余弦和正切的诱导公式. 2.能正确运用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题. 3.在利用单位圆的对称性推导诱导公式中，培养用几何方法研究代数问题的能力. 诱导公式与对称的关系. 诱导公式的推导与运用. 2 设角α是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点P. x y O P（x，y） α y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα； x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα； 1 你还记得任意角三角函数的定义吗？ 已知角α为锐角，那么角α的终边与角α＋π，α－π，π－α终边的几何关系分别是什么？如果角α是任意角呢？ 你能通过画图说明吗？ 3 已知角α为锐角，那么角α的终边与角α＋π，α－π，π－α终边的几何关系是什么？ x y O α α－π x y O α π－α 关于原点对称 关于y轴对称 x y O α α＋π 4 若角α为任意角，那么角α的终边与角α＋π，α－π，π－α终边的几何关系怎么变化呢？ x y O α α＋π 关于原点对称 x y O α α－π x y O α π－α 关于y轴对称 5 x y O α α＋π 关于原点对称 x y O α α－π 若任意角α的终边与单位圆的交点为P，角α＋π，α－π与单位圆的交点为P'，试探究：点P与点P'的几何关系. 1 P P' P P' 1 6 x y O α α－π x y O α α＋π 1 P P' P P' 点P与点P'关于原点对称 横纵坐标互为相反数 若P（u,v），则P'（－u,－v） sin（α＋π）=－sinα，sin（α－π）=－sinα cos（α＋π）=－cosα，cos（α－π）=－cosα P(u,v) P' (－u,－v) P(u,v) P' (－u,－v) 1 根据点P与点P'的几何关系，请探究它们坐标之间的关系？角α与角α＋π，α－π的正弦函数、余弦函数关系又如何呢?  7 若任意角α的终边与单位圆的交点为P，角π－α与单位圆的交点为P'，试探究：点P与点P'的几何关系并探究角α与角π－α的正弦函数、余弦函数的关系. x y O α π－α 1 P P' 点P与点P'关于y轴对称 横坐标互为相反数；纵坐标相等 若P（u,v）,则P'（－u,v） sin（π－α）=sinα cos（π－α）=－cosα P(u,v) P' (－u,v) 8 x y O α α＋π x y O α π－α 关于原点对称 关于y轴对称 学习了关于原点对称的两个角，关于y轴对称的两个角，同学们想一想，还有没有其他特殊的两个角的关系呢？ x y O α －α 关于 对称 x轴 9 x y O α －α 1 P P' 点P与点P'关于x轴对称 横坐标相等；纵坐标互为相反数 若P（u,v）,则P'（u, －v） sin（－α）=－sinα cos（－α）=cosα 函数 函数 奇 偶 P(u,v) P'(u,－v) 若任意角α的终边与单位圆的交点为P，角－α与单位圆的交点为P'，试探究：点P与点P'的几何关系并探究角α与角－α的正弦函数、余弦函数的关系. 10 在学习上述公式时，如何体会轴对称、中心对称的作用? 方法：第一步先从形的角度入手；第二步将形的关系代数化；第三步体会利用数形结合研究诱导公式与对称的关系. 圆的对称性 角与角的关系 坐标间的关系 三角函数的关系 x y O α x y O α x y O α 第二象限角变为第一象限角 第三象限角变为第一象限角 第四象限角变为第一象限角 任意角的正弦或余弦函数都可以通过对称化为第一象限的锐角三角函数. 11 x y O 图1 x y O 图2 与 的终边与单位圆的交点关于原点对称， 与 的终边与单位圆的交点关于y轴对称， 画出下列各组中的两个角的终边与单位圆的交点，说出它们的对称关系. （1） 和 （2） 和 （3） 和 （4） 和 解：（1） （2） 如图1 如图2 12 x y O 图3 x y O 图4 与 的终边与单位圆的交点关于x轴对称, 与 的终边与单位圆的交点关于y轴对称. 画出下列各组中的两个角的终边与单位圆的交点，说出它们的对称关系. （1） 和 （2） 和 （3） 和 （4） 和 解：（3） （