2024年中考数学第一轮复习培优讲义（山西专用）专题二十三圆的基本性质

2024年中考数学第一轮复习培优讲义（山西卷） 第六章 圆 专题二十三 圆的基本性质 一、考点精讲 （一）、与圆有关概念： 1.圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(如上图中的AB)； 3.弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距； 4.直径：经过圆心的弦叫做直径(如上图中的CD)；直径等于半径的2倍。 5.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 6.弧、优弧、劣弧： （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“”表示， 以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB” ． （2）大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示)； （3）小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)。 7.等弧：在 同圆 或 等圆 中，能够互相 重合 的弧叫做等弧。 8.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。 9.垂径定理及其推论： （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 （2）推论1： ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 （2）推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 10.圆的对称性： （1）圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； （2）圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 （二）、与圆有关的角： 1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 2.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理： （1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 3.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 4.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 （1）推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； （2）推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； （3）推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 5. 圆内接四边形对角互补。圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。 2、 真题及拓展 分析山西三年中考真题，这部分考题的考查题型有选择题、填空题、解答题，主要考查圆周角定理及其推论，与圆有关的证明与计算，与正多边形有关的计算，不规则图形面积的计算，在命题点下拓展其他新的考查形式。从山西近8年真题分析，八年八考，命题在继承中有创新，创新体现在加大开放探究，注重学生思维认知能力的考查。 命题点1.圆周角定理及其推论 1．（2023·山西·统考中考真题）如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（2022·山西·中考真题）如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（    ） A．60° B．65° C．70° D．75° 3．（2017·山西·中考真题）右图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A、B、C、D，得到四边形ABCD．若AC=10cm，∠BAC=36°，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 4．（2020·山西·统考中考真题）如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，为半径的与相切于点，与相交于点，的延长线交于点，连接交于点，求和的度数． 命题点2.三角形的外接圆 5．（2019·山西·统考中考真题）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务： 莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则. 如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr． 下面是该定理的证明过程（部分）： 延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN. ∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)， ∴△MDI∽△ANI， ∴， ∴①， 如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF， ∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°， ∵