4.2.2 等差数列的前n项和公式及相关性质 讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

06 等差数列的前n项和公式及相关性质 【知识点梳理】 一、等差数列的前n项和公式 (1)等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和 公式 Sn＝ Sn＝na1＋ (2)两个公式的关系：把an＝a1＋(n－1)d代入Sn＝中，就可以得到Sn＝na1＋d. 温馨提醒　Sn＝与Sn＝na1＋d均为等差数列前n项和公式，注意灵活选择、应用.当已知a1，an时，多用Sn＝；当已知a1，d时，多用Sn＝na1＋d. 二、等差数列前n项和的性质 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. (2)若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d. (3)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝. (4)若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)， S偶－S奇＝nd，＝(S奇≠0). (5)若等差数列的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1(an＋1是数列的中间项)，S偶－S奇＝－an＋1，＝(S奇≠0). (6)在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n). 【典例分析】 例1 在等差数列{an}中： (1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10； (2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n. 变式训练1 (1)设Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1＝－2 021，S6－2S3＝18，则S2 023＝(　　) A.－2 021 B.2 021 C.2 022 D.2 023 (2)(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，当首项a1和公差d变化时，若a1＋a8＋a15是定值，则下列各项中为定值的是(　　) A.a7 B.a8 C.S15 D.S16 例2 (1)在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若－＝2，则S10等于(　　) A.10 B.100 C.110 D.120 变式训练2 (1)(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，则下列数列为等差数列的是(　　) A.Sn，S2n，S3n B.Sn，S2n－Sn，S3n－S2n C.，， D.，， (2)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Sn′，如果＝(n∈N*)，则的值是(　　) A. B. C. D. (3)等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________. 例3 若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn. 变式训练3 已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn. 【针对性训练】 1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6＝(　　) A.16 B.24 C.36 D.48 2.已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项和S10＝(　　) A.138 B.135 C.95 D.23 3.在等差数列{an}中，若a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两个根，则数列{an}的前11项的和为(　　) A.22 B.－33 C.－11 D.11 4.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则＝(　　) A. B. C. D. 5.等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝n2，n∈N*，则a1＝________，d＝________. 7.《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布(不作近似计算). 8.等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为________. 9.等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50. (1)求数列的通项公式；(2)若Sn＝242，求n. 10.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110. 11.把形如M＝mn(m，n∈N*)的正整数表示为各项都是整数、公差为2的等差数列的前m项和，称作“对M的m项划分”.例如：9＝32＝1＋3＋5，称作“