精品解析：广东省中山市中山纪念中学2024届高三上学期第三次模拟测试数学试卷

中山市纪念中学2024届高三上学期第三次模拟测试 数学试卷 高三备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，则（     ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ） A B. C. D. 3. 在复数范围内，是方程的两个不同的复数根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 或2 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前项和，若，数列的前项和为，且，则正整数的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 6. 设函数若关于的方程有四个实根，则的最小值为（ ） A. B. 23 C. D. 24 7. 设分别为椭圆的左，右焦点，以为圆心且过的圆与x轴交于另一点P，与y轴交于点Q，线段与C交于点A．已知与的面积之比为，则该椭圆的离心率为（ ） A B. C. D. 8. 如图所示，是边长为3正三角形，，S是空间内一点，分别是，的二面角，满足，点D到直线SB的距离是1，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列选项中，与的值相等的是（ ） A. B. C. D. 10. 若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，弦的中点为，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 以为直径的圆与相切 B. C. D. 的最小值为4 12. 已知函数，，则（ ） A. 当时，有2个零点 B 当时，有2个零点 C. 存在，使得有3个零点 D. 存，使得有5个零点 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 设是随机事件，且，则______． 14. 在数列中，，，则值为______. 15. 已知正四面体的棱长为2，若球O与正四面体的每一条棱都相切，点P为球面上的动点，且点P在正四面体面ACD的外部（含正四面体面ACD表面）运动，则的取值范围为______． 16. 设函数，.若在恒成立，则实数的取值范围是_________. 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 17. 已知等比数列的前n项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 18. 已知中，角所对的边分别为. （1）求； （2）设是边上的点，且满足，求内切圆的半径. 19. 在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面． （1）求证：； （2）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 20. 已知点P（非原点）在抛物线C：上，点P处的切线分别交x，y轴于点Q，R． （1）若，求实数的值． （2）定义：过抛物线上一点，且垂直于在该点处切线的直线称为抛物线的法线．若抛物线C在点P处的法线交抛物线C于另一点S，求面积的最小值． 21. 在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件､样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）.熵的单位通常为比特，但也用、、计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1的信息，而掷次就为位.更一般地，你需要用位来表示一个可以取个值的变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量所有取值为，定义的信息熵，（，）. （1）若，试探索的信息熵关于的解析式，并求其最大值； （2）若，（），求此时的信息熵. 22. 已知函数． （1）若对任意的恒成立，求的取值范围； （2）证明：. 第1页/共1页 学科网