福建省厦门双十中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试卷

厦门双十中学2023~2024学年（上）第二次月考 高二数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5mm黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆：的长轴长是短轴长的3倍，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 5. 设正项等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 6. 直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正四面体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知：，直线l：，P为l上动点，过点P作的切线，切点为A、B，当弦长最小时，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 若圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则m的值可能是（ ） A 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 在等比数列中，，，则（ ） A. 的公比为4 B. 的前20项和为170 C. 的前10项积为 D. 的前n项和为 11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（     ） A. B. C. D. 与之间的距离为4 12. 如图，在棱长为2的正方体中，点满足，其中，则（ ） A. 存在点，使得平面 B. 存在点，使得平面 C. 当时，的最大值为1 D. 当时，的最小值为0 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知，，，且共面，则x的值为_____． 14. 已知平面内的动点到两定点的距离分别为和，且，则点到直线的距离的最大值为_________. 15. “康托尔尘埃”具有典型的分形特征，其生成过程如下：在单位正方形中，首先将正方形等分成9个边长为的小正方形，保留靠角的4个小正方形，记4个小正方形面积之和为；然后将保留的4个小正方形分别继续9等分，继续分别保留靠角的4个小正方形，记16个小正方形面积之和为；以此类推．若操作过程不断进行n次，则______． 16. 斜率为1的直线与双曲线（）交于两点，点是曲线上的一点，满足，和的重心分别为，的外心为，记直线，，的斜率为，，，若，则双曲线的离心率为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前n项和． 18. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 19. 已知数列中，，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 20. 习主席说：“绿水青山就是金山银山”．某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2021年投入1000万元，以后每年投入将比上一年减少，当地2021年度旅游业收入约为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加． （1）设年内（2021年为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出，的表达式； （2）至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入． （参考数据：，，） 21. 在平面直角坐标系xOy中，动圆P与圆：内切，且与圆：外切，记动圆P的圆心的轨迹为E． （1）求轨迹E的方程； （2）过圆心的直线交轨迹E于A，B两个不同的点，过圆心的直线交轨迹E于D，G两个不同的点，且，求四边形ADBG面积的最小值． 22. 已知是椭圆右焦点，为坐标