2024年中考数学第一轮复习培优讲义（山西专用）专题二十锐角三角函数及应用

2024年中考数学第一轮复习培优讲义（山西卷） 第四章 三角形 专题二十 锐角三角函数及其应用 一、考点精讲 （一） 锐角三角函数的概念： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c. 正弦：sinA＝＝ ；余弦：cosA＝＝； 正切：tanA＝＝； （二）. 特殊角的三角函数值： 三角函数 30° 45° 60° 图示 sinα cosα tanα 1 （三） . 解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素求其余未知元素的过程叫做解直角三角形. 已知条件 解法 图示 一直角边和一锐角(a，∠A) ∠B＝90°－∠A，c＝，b＝(或b＝) 斜边和一个锐角(c，∠A) ∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA，b＝c·cosA(或b＝) 两直角边(a，b) c＝，由tanA＝求∠A，∠B＝90°－∠A 斜边和一条直角边(c，a) b＝，由sinA＝求∠A，∠B＝90°－∠A （四）、解直角三角形的应用举例 （1）在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角． (2)坡角与坡度 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫坡角．i＝tanα＝ ． (3)方位角 方位角一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向所成的角(一般指锐角)，通常表示成北(南)偏东(西)几度． 2.解直角三角形的常见模型及辅助线的作法： （1）母子型及其变形 （2）背靠背型及其变形 2、 真题及拓展 分析山西三年中考真题，这部分考题的考查形式多样，主要考查锐角三角函数的概念，锐角三角函数的实际应用，立意上年年有创新，年年有新意。从山西近8年真题分析，八年九考，命题在继承中有创新，创新体现在加大开放探究，实际应用，注重真实任务情境，与实际生活对接，注重学生思维认知能力的考查。 命题点1.锐角三角函数 1．（2023·山西·统考中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为 ．    命题点2.锐角三角函数的实际应用 类型一，解一个直角三角形 2．（2017·山西·中考真题）如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°．已知测角仪的架高CE=1.5米，则这颗树的高度为 米（结果保留一位小数．参考数据：，，）． 类型二、解两个直角三角形 3．（2023·山西·统考中考真题）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022－2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算和的长度（结果精确到．参考数据：，）． 课题 母亲河驳岸的调研与计算 调查方式 资料查阅、水利部门走访、实地查看了解 功能 驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物 驳岸剖面图        相关数据及说明，图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，与均与地面平行，岸墙于点A，，，，， 计算结果 交流展示 4．（2022·山西·中考真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：）． 5．（2021·山西·统考中考真题）某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌．某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得，，，，四边形为矩形，且．请帮助该小组求出指示牌最高点到地面的距离（结果精确到．参考数据：，，，）． 6．（2020·山西·统考中考真题）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸