4.3.1等比数列的概念第1课时教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

《等比数列》 第一课时 [复习回顾] 问题一：回忆一类特殊数列——等差数列的学习过程，等差数列是如何发现并研究的？ 预设并引导：观察共性→得到概念→表示方法→性质→性质→应用。 【设计意图】 复习等差数列的学习过程，引导学生分析特殊数列的研究方式，为接下来发现研究等比数列作出铺垫。 [情境引入] 1. 《庄子》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完，这形象地说明了事物具有无限可分性。用数学眼光来看，假设“一尺之棰”长度为“1”，那么从第一天开始，每天木棰的长度构成的数列是什么样的？ 2. 两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录着下面的数列： 9，92，93，…，910； 100，1002，1003，…，10010； 5，52，53，…，510. 3. 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每 20 分钟就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第 1 次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是怎样的？ 4. 某人存入银行 a 元，存期为 5 年，年利率为 r，那么按照复利，他 5 年内每年末得到的本利和分别是怎样的？ 【设计意图】 从情境的实际问题抽象出若干个等比数列，展示出了若干不同公比的等比数列。《庄子》作为引例，渗透中国传统文化；古巴比伦时期的泥板记录的数列展示、细菌分裂繁殖产生的个数的探究，引起学生的探究问题的兴趣，发生思维碰撞，激发学生问题再探的兴趣；银行本利和问题让学生从中抽象出数学模型。数学史中和生活中的实例引入，从表象逐步过渡到本质，从具体抽象到一般，归纳总结引出本节课课题。新课程倡导强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生有追求过程的体验，所以基于以上分析，按照事实-概念-性质-应用的顺序展开教学。通过对等差数列概念的回顾和新数列与等差数列的对比，并在两个数列概念的比较中，寻找两个数列的差异，归纳出等比数列的定义。通过小组讨论，再次深化利用类比的方法，借助等差数列研究的内容和方法去研究等比数列的概念、性质、通项公式、前 n 项和及应用，培养学生用数学的眼光看待生活，观察问题时善于从生活到数学；解决问题时善于从数学到生活，即将数学概念和定理具体化，用于认识并解决现实中的问题。 [新知探究] 问题二：观察刚刚发现的数列，类比等差数列的研究思路和方法，你认为可以通过怎样的运算发现以下数列的取值规律？你发现了什么规律？ 预设：从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数。 问题三：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能否抽象出等比数列的概念吗？ 预设：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。 追问：你能否给出定义的符号表示？ 思考：从符号表示式中，能否观察出等比数列公比 q 的取值范围是什么？ 【设计意图】让学生充分发表自己的见解，强化学生的主体地位，观察、分 析、挖掘具体数列的共性，类比等差数列的概念，提炼出等比数列的定义、数学 表达式以及特点，抽象出等比数列的概念，体会数学知识之间的联系，培养学生 的语言表达能力，归纳总结能力，渗透特殊与一般的思想，发展学生数学抽象素 养。 【辨析】以下数列中哪些是等比数列？ 【设计意图】通过辨析，让学生明白想要判断一个数列是等比数列，一定要证明出对于任意项后一项与前一项之比为同一常数，反之，只要举出反例即可。设置这样的涵盖各种情况的问题，让学生自主探究，辨析概念，进一步加强对概念的理解与认识，建立等比数列相关的模型，发展学生的数学抽象素养。 问题四：在等差数列中，我们学习了等差中项的概念，类比，在等比数列中有什么相应的概念？如何定义呢？ 问题五：你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 追问 1：回忆一下，等差数列通项公式的推导过程，类比猜想，等比数列的通项公式如何推导？ 追问 2：除了归纳法以外，我们还用什么方法推导出等差数列的通项公式？ 累加法（等差数列）→累乘法（等比数列） 【设计意图】类比等差数列的研究方法，让学生经历观察、分析、猜想、验证、证明等比数列的通项公式的研究思路，分别使用三种方法：不完全归纳法、累乘法、迭代法推导出等比数列的通项公式，培养学生归纳、类比、演绎的推理能力，探索和表述有关代数论证部分的思路和过程，发展学生的逻辑推理、数学运算素养。通过问题串的形式指出研究通项公式的合理性和必要性。引导学生类比等差数列通项公式的推导方法累加法，类比得到累乘法。类比的思想在“累乘法”的引出时得到了进一步强化。在累乘法的推导中还要注意严谨性。从发现等比数列定义及通项公式的过程中，创建系列化的学生活动，引导学生通过自主探究、合作学习来建构知识，发展技能，感悟和提炼思想方法，积累数学活动