第02讲 平面向量的运算（春季讲义）-2023-2024学年高一数学春季讲义（人教A版2019必修第二册）

第02讲 平面向量的运算 【人教A版2019】 ·模块一 向量的线性运算 ·模块二 向量的数量积 ·模块三 课后作业 模块一 向量的线性运算 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量 加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量 加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 2．向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 3．向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 零向量. (2)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以 表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 4．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①； ②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③ (+)=+. 特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有( )=. 5．向量共线定理 (1)向量共线定理 向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使=. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如,)表示向量,，设=(≠0)，化 成关于,的方程()=-()，由于,不共线，则解方程组即可. 【考点1 向量的加法、减法运算】 【例1.1】（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在平面四边形中，下列表达式化简结果与相等的是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023·全国·高一专题练习）（　　） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023下·重庆万州·高一校考阶段练习）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023下·山东青岛·高一青岛二中校考期末）中，点为上的点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【考点2 平面向量的混合运算】 【例2.1】（2023·全国·高一专题练习）化简： (1)； (2)； (3). 【例2.2】（2023下·青海西宁·高一校考阶段练习）化简： (1)； (2)． 【变式2.1】（2023下·山东济南·高一济南外国语学校校考阶段练习）化简： (1)； (2). 【变式2.2】（2023·全国·高一专题练习）计算： (1)； (2). 【考点3 平面向量共线定理证明点共线、线平行问题】 【例3.1】（2023下·贵州遵义·高一校考阶段练习）已知不共线的向量，且，，，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【例3.2】（2023·高一课时练习）设D、E、F分别是的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则（    ） A．与反向平行 B．与同向平行 C．与反向平行 D．与不共线 【变式3.1】（2023下·广东广州·高一校考阶段练习）设，是两个不共线的向量，已知，，，若三点A，B，D共线，则k的值为（    ） A．－8 B．8 C．6 D．－6 【变式3.2】（2023·全国·高一随堂练习）判断下列各小题中的向量，是否共线： (1)，； (2)，（其中两个非零向量和不共线）； (3)，. 【考点4  向量线性运算的几何应用】 【例4.1】（2023上·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考阶段练习）如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（    ）    A．8 B．12 C．32 D．16 【例4.2】（2023下·河北石家庄·高三校联考期中）如图，在平行四边形中，，，，若，则下列