第01讲 平面向量的概念（春季讲义）-2023-2024学年高一数学春季讲义（人教A版2019必修第二册）

第01讲 平面向量的概念 【人教A版2019】 ·模块一 向量的概念 ·模块二 相等向量与共线向量 ·模块三 课后作业 模块一 向量的概念 1．向量的概念 (1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注： ①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法: ①字母表示法：如等. (2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 【考点1 平面向量的概念与表示】 【例1.1】（2023上·黑龙江·高二统考学业考试）下列量中是向量的为（    ） A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离 【例1.2】（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的个数是（   ） （1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量； （2）零向量没有方向； （3）向量的模一定是正数； （4）非零向量的单位向量是唯一的． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1.1】（2023下·新疆·高一校考期末）下列说法正确的是（    ） A．身高是一个向量 B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量 C．有向线段由方向和长度两个要素确定 D．有向线段和有向线段的长度相等 【变式1.2】（2023下·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考阶段练习）对下面图形的表示恰当的是（    ）    A． B． C． D． 【考点2 向量的几何表示与向量的模】 【例2.1】（2023下·安徽淮北·高一校考阶段练习）在如图的方格纸中，画出下列向量．    (1)，点在点的正西方向； (2)，点在点的北偏西方向； (3)求出的值． 【例2.2】（2023·高一课前预习）在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点，并求终点的坐标 （1），的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为； （2），的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为； （3），的方向与轴、轴正方向的夹角都是. 【变式2.1】（2023·全国·高一随堂练习）在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，用直尺和圆规画出下列向量： （1）,点A在点O正南方向； （2）,点B在点O北偏西方向； （3）,点C在点O南偏西方向. 【变式2.2】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方. （1）作出向量，，（图中1个单位长度表示100m）； （2）求向量的模. 【考点3 零向量与单位向量】 【例3.1】（2023上·广东湛江·高二校考开学考试）下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【例3.2】（2023下·新疆·高一校考期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【变式3.1】（2023·全国·高一专题练习）下列说法中，正确的是（    ） ①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的； ③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线． A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【变式3.2】（2023·全国·高一专题练习）下列关于向量的描述正确的是 A．若向量，都是单位向量，则 B．若向量，都是单位向量，则 C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量 D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆 模块二 相等向量与共线向量 1．向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线. 注： ①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线