11.3 余弦定理、正弦定理的应用（六大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

11．3 余弦定理、正弦定理的应用 课程标准 学习目标 （1）能够运用正弦定理、余弦定理解决有关测量距离、高度、角度的实际问题． （2）掌握用正弦定理、余弦定理解三角形实际问题的一般方法． （1）能运用解三角形的知识解决简单的测量问题. （2）能用解三角形的知识解决物理问题. （3）加强正弦定理、余弦定理的综合应用能力． 知识点01 测量中的常用角 名称 定义 示例 方位角 从指北方向线顺时针转到目标方向线的角 点A的方位角为225° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角 点A的方向角为南偏西45°（或称西南方向） 【即学即练1】（2024·安徽·高一校联考阶段练习）一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东，距离海里，灯塔C在A的北偏西，距离为海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向，则 ． 知识点02 常见问题的测量方案 1、距离问题 类型 简图 测量 两点A，B均可达 先选定适当的位置C，用测角器测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离，即 两点A，B可视，但有一点不可达 在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出，，那么在△ABC中，已知两角及一边，运用正弦定理就可以求出AB 两点A，B可视，均不可达 测量者可以在河岸选定两点C，D，测得，同时在C，D两点分别测得，，，．在和中，由正弦定理计算出AC和BC后，再在中，应用余弦定理计算出A，B两点间的距离 2、高度问题 类型 简图 测量方案 底部可达 测得，， 底部不可达 点B与C，D共线 测得及C与的度数 先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值． 点B与C，D不共线 测得及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数． 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 【即学即练2】（2024·全国·高一假期作业）岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度CD约（    ）（，）      A．18米 B．19米 C．20米 D．21米 题型一：距离问题 【典例1-1】（2024·江苏无锡·高一江苏省南菁高级中学校考阶段练习）如图，位于我国南海海域的某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里（小岛的大小忽略不计，测量误差忽略不计），经过测量得到数据：．小岛C与小岛D之间的距离为 海里．    【典例1-2】（2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）如图，设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为 100米，50米.现欲在M、N之间架设高压电网，须计算 M，N之间的距离.勘测人员在海平面上选取一点 ，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为，，并从P点观测到M，N点的视角（即角 ）为，则 M，N之间的距离为 米.    【变式1-1】（2024·全国·高一专题练习）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”，若要测量如图所示某蓝洞口边缘，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得海里，，，，则，两点的距离为 海里.    【变式1-2】（2024·北京怀柔·高一统考期末）神舟十五号返回舱于北京时间2023年6月4日6时在东风着陆场成功着陆，着陆地点在航天搜救队A组北偏东的方向60公里处，航天搜救队B组位于A组东偏南的方向80公里处，则航天搜救队B组距着陆点 公里． 【变式1-3】（2024·辽宁·高一校联考期末）抚仙湖，位于澄江市、江川区、华宁县之间，湖面积仅次于滇池和洱海，为云南省第三大湖，也是我国最大的深水型淡水湖泊．如图所示，为了测量抚仙湖畔M，N两点之间的距离，现取两点E，F，测得公里，，，，则M，N两点之间的距离为 公里．    【变式1-4】（2024·四川自贡·高一统考期末）如图，为山脚两侧共线的三点，在山顶处观测三点的俯角分别为．现测得．计划沿直线开通一条穿山隧道，则隧道的长度为 ． 【方法技巧与总结】 求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是 (1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形． (2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解． 题型二：高度问题 【典例2-1】（2024·全国·高一随堂练习）灵运塔，位于九江市都