17.4.2 反比例函数的图象和性质 学案 2023—-2024学年华东师大版数学八年级下册

17.4.2　反比例函数的图象和性质 素养目标 　　1.知道反比例函数的图象是双曲线,会利用描点法画出反比例函数的图象,并能说出它的性质. 2.会利用反比例函数的图象解决有关实际问题. 3.探索反比例函数的图象的性质,体会用数形结合思想解决数学问题. ◎重点:知道反比例函数的意义,会列出实际问题中的反比例函数的关系式. 预习导学 知识点一 画反比例函数的图象 阅读本课时教材“试一试”及其前面的所有内容,回答下列问题. 1.画反比例函数的图象时应注意哪些问题? 2.请你画出函数y=-的图象,找一找它和反比例函数y=的图象有什么相同点. 3.上述两条曲线会与x轴、y轴相交吗?为什么? 4.为什么反比例函数的图象不是连续的? 归纳总结　反比例函数的图象是由两支曲线构成的,因此称反比例函数的图象为　 　.  【答案】1.答案不唯一,学生只要回答合理即可.如列表时正数、负数都要选取;自变量不为0;要用光滑的曲线连接所描的点;图象不与坐标轴相交等. 2.函数y=-的图象如图所示.相同点:学生只要回答合理即可,如:图象都是由两部分组成;图象都是曲线;图象与坐标轴都没有交点. 3.不会与x轴、y轴相交.因为x≠0,y≠0,所以图象与x轴和y轴没有交点. 4.因为自变量x≠0,且k≠0,所以y≠0,所以图象不是连续的. 归纳总结　 双曲线 知识点二 反比例函数的图象的性质 阅读本课时教材“讨论”和“概括”,回答下列问题. 1.在同一直角坐标系中,画出函数y=和y=-的图象后,观察图象的形状和所在的象限,猜想反比例函数y=(k≠0)的图象所在的象限由什么决定? 2.请同学们观察反比例函数y=和y=-的图象上点的运动情况,然后回答下列问题. 对于反比例函数y=,其图象在每个象限内从左到右是上升的还是下降的?y的值随着x的变化将怎样变化?y=-呢?y=(k≠0)呢? 　　3.请同学们用透明纸放在课本的该函数图象上复制这个图象,并用大头钉固定在坐标系原点上,再把上面的图象绕着原点旋转180°,结果你发现了什么? 　　归纳总结　反比例函数y=有下列性质: (1)当k>0时,函数的图象在第　 　、　 　象限,在每个象限内,曲线从左向右下降,也就是在每个象限内y随x的增加而　 　;  (2)当k<0时,函数的图象在第　 　、　 　象限,在每个象限内,曲线从左向右上升,也就是在每个象限内y随x的增加而　 　.  特别注意:(1)反比例函数的自变量x不能为　 　;(2)双曲线的两个分支与x轴和y轴没有交点;(3)双曲线的两个分支关于原点中心对称;(4)增减性是指在同一象限内的.  【答案】1.函数y=的图象在第一、三象限,图象是双曲线;函数y=-的图象在第二、四象限,图象也是双曲线;猜想反比例函数y=(k≠0)的图象所在的象限由k决定. 2.下降,y随x增大而减小;上升,y随x增大而增大.通过观察可知,反比例函数y=有下列性质:(1)当k>0时,函数的图象在每个象限内,曲线从左向右下降,也就是在每个象限内y随x的增加而减小;(2)当k<0时,函数的图象在每个象限内,曲线从左向右上升,也就是在每个象限内y随x的增加而增大. 3.所画图象与原图象重合,说明反比例函数的图象关于原点中心对称. 归纳总结　 (1)一　三　减少 (2)二　四　增加　零 合作探究 任务驱动一 已知点(-2,y1)、点(-1,y2)、点(3,y3)和点(-3,-2)都在反比例函数y=的图象上,那么y1、y2、y3的大小关系是 ( ) A.y1<y2<y3　　　　B.y3<y2<y1 C.y2<y1<y3　　　 D.y3<y1<y2 变式演练　若P(m,y1),Q(-3,y2)是函数y=图象上的两点,且y1>y2,求实数m的取值范围. 【答案】C 变式演练　 解:当点P(m,y1)在第一象限时,均有y1>y2,此时m>0, 当点P(m,y1)在第三象限时,当m<-3时有y1>y2, 所以实数m的取值范围为m>0或m<-3. 任务驱动二 若反比例函数y=(m+1)的图象在第二、第四象限内,求m的值. 【答案】解:由题意,得　解得m=-. 任务驱动三 已知反比例函数的图象过点(1,-2).求这个函数的关系式,并画出函数图象. 【答案】解:设反比例函数的关系式为y=(k≠0). 而反比例函数的图象过点(1,-2),即当x=1时,y=-2. 所以-2=,k=-2.故反比例函数的关系式为y=-.图象如图所示. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$