4.3.1 等比数列的概念课件（第1课时）-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1 等比数列的概念（第1课时） 1．两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列： 古巴比伦人用60进制计数， 这里转化为十进制． 问题1：前面我们学习了等差数列，类比等差数列的定义，你观察下列数列有什么取值规律？ 2. 庄子曰:“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完” 。 如果将“一尺之棰”视为一份， 则每日剩下的部分依次为： 3．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 2，4，8，16，32，64，…… ⑤ 复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息． ⑥ 1. 等比数列的概念　 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个不为0常数，那么这个数列就叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q (q≠0)表示. 等比数列的符号语言： 追问1.等比数列的项an，公比q有无条件限制？ 成立条件：q≠0，an ≠0 追问2.既是等差数列又是等比数列存在吗？若存在，你能举例子吗？ 练习1. 判断下列数列是否是等比数列. 如果是，写出它的公比. 2. 等比中项　 如果在a与b中间插入一个数G，使a, G, b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 此时，G2=ab . 追问：这时a，b的符号有什么特点？你能用 a，b表示G 吗？ 等比数列奇数项必同号；偶数项也同号． 探究 你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 设一个等比数列{an}的首项为a1, 公差为q, 根据等比数列的定义, 可得 ∴ a2= a1q， a3= a2q = a1q2， a4= a3q= a1q3， ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ∴ an= a1qn-1 (n≥2). 又a1=a1q1-1，这就是说，当n=1时上式也成立. 因此，首项为a1, 公差为q的等比数列{an}的通项公式为 思考: 在等差数列中，公差d ≠ 0的等差数列可以与相应的一 次函数建立联系; 那么对于等比数列，公比q满足什么条件的数列可以与相应的函数建立类似的联系? 练习4.对于数列{an}, 若点(n, an) (n∈N*)都在函数y=cqx的图象上，其中c, q为常数，且c≠0, q≠0, q≠1，试判断数列{an}是否是等比数列，并证明你的结论. 例1 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项. 例2 已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an. 等比数列{an}的通项公式： 等差数列{an}的通项公式： a1 a3 a5 a7 q 2 8 2 0.2 4 16 50 0.08 0.0032 练习2. 已知{an}是一个公比为q等比数列，请在下表中的空格处填入 适当的数. 练习3. 在等比数列{an}中，a1a3＝36，a2+a4＝ 60. 求a1和公比q. 例3. 数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80, 第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等 于132. 求这个数列. 课堂小结 q≠0，an ≠0 等比数列奇数项必同号；偶数项也同号． $$