27 第1部分 专题6 第5讲 利用导数解决不等式恒成立、能成立问题-【提分教练】2024年新高考数学(文科)二轮总复习课件（老教材）

第一部分 高频题型 重难探究 专题六　函数、导数和不等式 第5讲　利用导数解决不等式恒成立、能成立问题 1 【高考定位】　以基本初等函数为载体，以不等式恒成立(能成立)为依托，重在考查学生的最值转化能力，考查逻辑推理及数学运算的素养． 2 索引 01 能力考点1　单变量不等式恒成立、能成立问题 02 能力考点2　双变量不等式恒成立、能成立问题 第5讲　利用导数解决不等式恒成立、能成立问题 能力考点1　单变量不等式恒成立、能成立问题 (2023·全国甲卷)已知函数f (x)＝ax－，x∈. (1)当a＝1时，讨论f (x)的单调性； (2)若f (x)＋sinx<0，求a的取值范围． [解]　(1)(cos2x)′＝(cosx cos x)′＝－sin x cos x＋cos x·(－sin x)＝－2sin x cos x， f ′(x)＝a－＝a－＝a－. 当a＝1时，f ′(x)＝1－＝. 因为x∈，所以cosx∈(0，1)，cos3x＋cos2x<2，故f ′(x)<0， 故当a＝1时，f (x)在上单调递减． (2)法一：令F (x)＝ax－＋sinx，则F (0)＝0. F′(x)＝a－＋cosx＝a＋. 令F′(0)＝0，得a＝0. 当a>0时，F′(0)＝a>0，当x→时，F′(x)→－∞，所以存在一个x0∈，满足F′(x0)＝0，且当x∈(0，x0)时，F′(x)>0，F (x)单调递增，则当x∈(0，x0)时，F (x)>F (0)＝0，不符合题意． 当a0时，因为f (x)＋sinx＝ax－＝ax－－，x∈，所以要证f (x)＋sinx<0在上恒成立，只需证－<0在上恒成立． 因为cos2x在上恒大于0，sin3x在上恒大于0， 所以－<0在上恒成立，命题得证． 综上，a的取值范围为(－∞，0]. 5 法二：依题意，f (x)＋sinx＝ax－＋sinx＝ax＋sin x，x∈. ①当a0时，易知f (x)＋sinx<0； ②当a>0时，因为x∈时满足sin x<x， 所以f (x)＋sin x＝ax＋sin x>a sinx＋sin x＝sinx， 因为函数y＝的值域为(1，＋∞)，a＋1>1，所以对于任意大于0的参数a，一定存在x0∈，使得<a＋1， 即存在x0∈，使得f (x0)＋sinx0>0，故a>0不能确保f (x)＋sin x<0，与题意矛盾，故a>0不成立． 综上，a的取值范围为(－∞，0]. 6 由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略 (1)求最值法，将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题； (2)分离参数法，将参数分离出来，进而转化为或a<f (x)min的形式，通过导数的应用求出f (x)的最值，即得参数的范围． 提醒：不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别． 能力考点1 能力考点2 专题限时集训 第5讲　利用导数解决不等式恒成立、能成立问题 [恒成立与能成立的综合问题]已知函数f (x)＝ex－a sin x－2x＋b(e≈2.718 28，a，b∈R)． (1)当a＝1时，存在x0∈(－∞，0]，使得f (x0)<0成立，求实数b的取值范围； (2)证明：当－1a1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有f (x)＋1－b>ex－x(ln x＋2)． [解]　(1)当a＝1时，f (x)＝ex－sin x－2x＋b， 因为存在x0∈(－∞，0]，使得f (x0)<0，即－sin x0－2x0＋b<0成立， 所以b<(－ex＋sin x＋2x)max，x∈(－∞，0]， 令g(x)＝－ex＋sin x＋2x，x∈(－∞，0]，则g′(x)＝＋cos x＋2， 因为x∈(－∞，0]，所以－1≤－ex<0，－1≤cos x≤1， 因此g′(x)>0恒成立， 所以g(x)在(－∞，0]上单调递增，g(x)max＝g(0)＝－1， 所以b<－1. 能力考点1 能力考点2 专题限时集训 第5讲　利用导数解决不等式恒成立、能成立问题 (2)证明：当－1≤a≤1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有f (x)＋1－b>ex－x(ln x＋2)． 即证x ln x＋1－a sin x>0，设h(x)＝x ln x＋1－x，则h′(x)＝ln x， 令h′(x)＝0，即ln x＝0，解得x＝1. 所以当x∈(0，1)时，h′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0， 所以h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 因此h(x)≥h(1)＝0，所以x ln x＋1－x≥0，即x ln x＋1≥x. 设F (x)＝x－a sin x，x∈(0，＋∞)，－1≤a≤1， 则F′(x)＝1－a cos x≥0，所以F (x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以F