18 第1部分 专题5 第4讲 圆锥曲线中的定点、定值问题-【提分教练】2024年新高考数学(文科)二轮总复习课件（老教材）

第一部分 高频题型 重难探究 专题五　解析几何 第4讲　圆锥曲线中的定点、定值问题 1 【高考定位】　以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，重点考查直线或圆锥曲线运动变化，探求直线是否过定点、线段长、直线的斜率或斜率之和(积)等是否为定值的问题，难度较大． 2 索引 01 能力考点1　定点问题 02 能力考点2　定值问题 第4讲　圆锥曲线中的定点、定值问题 能力考点1　定点问题 1．(2023·全国乙卷)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，点A(－2，0)在C上． (1)求C的方程； (2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点． [解]　(1)因为点A(－2，0)在C上，所以＝1，得b2＝4. 因为椭圆的离心率e＝＝，所以c2＝a2，又a2＝b2＋c2＝4＋a2，所以a2＝9，c2＝5， 故椭圆C的方程为＝1. (2)由题意知，直线PQ的斜率存在且不为0，设lPQ：y－3＝k(x＋2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得(4k2＋9)x2＋(16k2＋24k)x＋16k2＋48k＝0， 则Δ＝(16k2＋24k)2－4(4k2＋9)(16k2＋48k)＝－36×48k>0， 故x1＋x2＝－，x1x2＝. 直线AP：y＝(x＋2)， 令x＝0，解得yM＝，同理得yN＝， 5 则yM＋yN＝2×＝2× ＝2×＝ 2×＝2×＝6. 所以MN的中点的纵坐标为＝3，所以MN的中点为定点(0，3)． 6 2．(2019·北京卷)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)． (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点． [解]　(1)由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)， 得4＝2p，即p＝2， 可得抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1. 能力考点1 能力考点2 专题限时集训 第4讲　圆锥曲线中的定点、定值问题 (2)证明：抛物线x2＝－4y的焦点为F (0，－1)，设直线l的方程为y＝kx－1，联立抛物线方程，可得x2＋4kx－4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 可得x1＋x2＝－4k，x1x2＝－4. 直线OM的方程为y＝x，即y＝－x，直线ON的方程为y＝x， 即y＝－x，可得A，B， 可得AB的中点的横坐标为2＝2·＝2k， 即有以AB为直径的圆心为(2k，－1)，半径为＝＝2·＝2. 可得圆的方程为(x－2k)2＋(y＋1)2＝4(1＋k2)，化为x2－4kx＋(y＋1)2＝4， 由x＝0，可得y＝1或－3. 则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0，1)，(0，－3)． 8 【教师备选题】 (2020·全国Ⅰ卷)已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，·＝8.P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D. (1)求E的方程； (2)证明：直线CD过定点． [解]　(1)由题设得A(－a，0)，B(a，0)，G(0，1)， 则＝(a，1)，＝(a，－1)．由·＝8，得a2－1＝8，即a＝3. 所以E的方程为＋y2＝1. 能力考点1 能力考点2 专题限时集训 第4讲　圆锥曲线中的定点、定值问题 (2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)． 若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，由题意可知－3<n<3. 由于直线PA的方程为y＝(x＋3)， 所以y1＝(x1＋3)． 直线PB的方程为y＝(x－3)， 所以y2＝(x2－3)． 可得3y1(x2－3)＝y2(x1＋3)． 由于＝1，故＝－，可得27y1y2＝－(x1＋3)(x2＋3)，即(27＋m2)·y1y2＋m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0.　① 将x＝my＋n代入＋y2＝1，得(m2＋9)y2＋2mny＋n2－9＝0. △>0，所以y1＋y2＝－，y1y2＝. 代入①式得(27＋m2)(n2－9)－2m(n＋3)mn＋(n＋3)2(m2＋9)＝0， 解得n＝－3(舍去)或n＝， 故直线CD的方程为x＝my＋，即直线CD过定点. 若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，过点. 综上，直线CD过定点. 动线过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)． (2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 能力考点