17 第1部分 专题5 第3讲 圆锥曲线中的最值、范围问题-【提分教练】2024年新高考数学(文科)二轮总复习课件（老教材）

第一部分 高频题型 重难探究 专题五　解析几何 第3讲　圆锥曲线中的最值、范围问题 1 【高考定位】　以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，融函数与方程、基本不等式于一体，重在考查学生的数学建模、数学运算能力和逻辑推理及等价转化能力， 难度稍大． 2 索引 01 能力考点1　构造不等式求最值或范围 02 能力考点2　构造函数求最值或范围 第3讲　圆锥曲线中的最值、范围问题 能力考点1　构造不等式求最值或范围 1．(2017·浙江卷)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q. (1)求直线AP斜率的取值范围； (2)求|PA|·|PQ|的最大值． [解]　(1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－， 因为－<x<， 所以直线AP斜率的取值范围是(－1，1)． (2)设直线AP的方程为y－＝k，即kx－y＋k＋＝0， 则直线BQ的方程为y－＝－，即x＋ky－k－＝0. 联立直线AP与BQ的方程 解得点Q的横坐标是xQ＝. 5 因为|PA|＝＝(k＋1)， |PQ|＝(xQ－x)＝－， 所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3. 令f (k)＝－(k－1)(k＋1)3， 因为f ′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2， 所以f (k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值. 6 2．(2019·全国Ⅱ卷)已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－.记M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G. ①证明：△PQG是直角三角形； ②求△PQG面积的最大值． [解]　(1)由题设得·＝－，化简得＝1(|x|≠2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左、右顶点． 能力考点1 能力考点2 专题限时集训 第3讲　圆锥曲线中的最值、范围问题 (2)①证明：设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k＞0)． 由得x＝±. 记u＝， 则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u，0)． 于是直线QG的斜率为，方程为y＝(x－u)． 由 得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.① 8 设G(xG，yG)，则－u和xG是方程①的解，故xG＝，由此得yG＝. 从而直线PG的斜率为＝－.所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形． ②由①得|PQ|＝2u，|PG|＝，所以△PQG的面积S＝|PQ||PG|＝＝. 设t＝k＋，则由k＞0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号． 因为S＝在[2，＋∞)上单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为. 因此，△PQG面积的最大值为. 9 求解范围、最值问题的常见方法 (1)利用判别式来构造不等关系． (2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系． (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式． (4)利用基本不等式．基本不等式求最值的5种典型情况： ①s＝(先换元，注意“元”的范围，再利用基本不等式)． ②s＝(基本不等式)． 能力考点1 能力考点2 专题限时集训 第3讲　圆锥曲线中的最值、范围问题 ③s＝(基本不等式)． ④s＝＝(先分离参数，再利用基本不等式)． ⑤s＝＝(分子、分母同时除以k2，令t＝k＋换元，再利用基本不等式)． 能力考点1 能力考点2 专题限时集训 第3讲　圆锥曲线中的最值、范围问题 1．[借助隐含关系建立不等式]设过定点M(0，2)的直线l与椭圆C：＋y2＝1交于不同的两点P，Q，若点O在以线段PQ为直径的圆的外部，求直线l的斜率k的取值范围． [解]　显然直线x＝0不满足题设条件，故可设直线l：y＝kx＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．由得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0.∵Δ＝(16k)2－4×12(1＋4k2)>0， ∴k∈，∴x1＋x2＝，x1x2＝. 根据题意，得0°<∠POQ<90°，即·>0， ∴·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋2k×＋4＝>0，解得－2<k<2.综上得k∈. 能力考点1 能力考点2 专题限时集训 第3讲　圆锥曲线中的最值、范围问题 2．[消元构造不等式]已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的焦点坐标分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆C上一点，满足3|PF1|＝5|PF2|且cos ∠F1PF2＝. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点，点Q，若|AQ|＝|BQ|，求k的取值范围． [解]　(1)由题意设|PF1|＝