16 第1部分 专题5 第2讲 圆锥曲线的定义、方程及性质-【提分教练】2024年新高考数学(文科)二轮总复习课件（老教材）

第一部分 高频题型 重难探究 专题五　解析几何 第2讲　圆锥曲线的定义、方程及性质 1 【高考定位】　1．圆锥曲线的标准方程，常以定义转化为媒介，通过平面几何图形中的几何等量关系求得相应曲线的标准方程．2．圆锥曲线的几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题中第一问的形式命题．3．直线与圆锥曲线的位置关系是每年高考的热点，主要考查直线与抛物线、直线与椭圆的综合问题，突出考查研究直线与圆锥曲线位置关系的基本方法，注意通性通法的应用． 2 索引 01 基础考点1　圆锥曲线的定义、标准方程 02 基础考点2　圆锥曲线的几何性质 03 基础考点3　直线与圆锥曲线的位置关系 第2讲　圆锥曲线的定义、方程及性质 基础考点1　圆锥曲线的定义、标准方程 1．(2020·全国Ⅰ卷)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为(　　) A． B．3 C． D．2 √ B　[法一：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2，0)，F2(2，0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16.不妨令点P在双曲线C的右支上，则有|PF1|－|PF2|＝2，两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，又＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝6，则＝|PF1|·|PF2|＝×6＝3.故选B. 2 4 1 3 题号 5 法二：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2，0)，F2(2，0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝所以△PF1F2是直角三角形，所以＝＝＝3(其中θ＝∠F1PF2)．故选B.] 2．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＋y2＝1 √ 2 4 1 3 题号 5 B　[因为离心率e＝＝＝，解得＝，b2＝a2，A1，A2分别为C的左、右顶点，则A1，A2，B为上顶点，所以B(0，b)． 所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，因为·＝－1， 所以－a2＋b2＝－1，将b2＝a2代入，解得a2＝9，b2＝8，故椭圆C的方程为＝1.故选B.] 基础考点1 基础考点3 基础考点2 专题限时集训 第2讲　圆锥曲线的定义、方程及性质 5 3．(2023·天津卷)双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为(　　) 2 4 1 3 题号 5 A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 √ D　[法一：不妨取渐近线y＝x，此时直线PF2的方程为y＝－(x－c)，与y＝x联立解得即P. 基础考点1 基础考点3 基础考点2 专题限时集训 第2讲　圆锥曲线的定义、方程及性质 2 4 1 3 题号 5 因为直线PF2与渐近线y＝x垂直，所以PF2的长度即为点F2(c，0)到直线y＝x(即bx－ay＝0)的距离，由点到直线的距离公式得|PF2|＝＝＝b，所以b＝2. 因为F1(－c，0)，P，且直线PF1的斜率为，所以＝，化简得＝，又b＝2，c2＝a2＋b2，所以＝，整理得a2－2a＋2＝0，即(a－)2＝0，解得a＝. 所以双曲线的方程为＝1，故选D. 2 4 1 3 题号 5 法二：因为过点F2向其中一条渐近线作垂线，垂足为P，且|PF2|＝2，所以b＝2，再结合选项，排除选项B，C；若双曲线方程为＝1，则F1(－2，0)，F2(2，0)，渐近线方程为y＝±x，不妨取渐近线y＝x，则直线PF2的方程为y＝－(x－2)，与渐近线方程y＝x联立，得P，则＝，又直线PF1的斜率为，所以双曲线方程为＝1不符合题意，排除A，故选D.] 4．(2020·新高考Ⅰ卷改编)已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则下列结论正确的是________．(填序号) ①若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上； ②若m＝n>0，则C是圆，其半径为； ③若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x； ④若m＝0，n>0，则C是两条直线． 2 4 1 3 题号 5 ①③④　[对于①，∵m>n>0，∴0<<，方程mx2＋ny2＝1可变形为＝1，∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于②，∵m＝n>0， ∴方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝，该方程表示半径为的圆，错误；对于③，∵mn<0，∴该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0⇒y＝±