14 第1部分 专题5 第1讲 直线与圆-【提分教练】2024年新高考数学(文科)二轮总复习课件（老教材）

第一部分 高频题型 重难探究 专题五　解析几何 1 提纲挈领——重构知识体系 整合必备知识 融会贯通——重视审题答题 升华学生思维 阅卷案例 四字解题 (2023·全国甲卷，T20，12分)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4. (1)求p； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且·＝0，求△MFN面积的最小值． 读 |AB|＝4，求p 求△MFN面积的最小值 想 建立关于p的方程 怎样表示面积 算 联立方程，弦长公式 点F到直线MN的距离为d，弦长|MN|，表示面积并求最小值 思 转化与化归，数学运算 转化与化归，数学运算 规范解答 满分心得 [解]　(1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由可得y2－4py＋2p＝0，因为Δ＝16p2－8p>0，所以p>.所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p，2分 所以|AB|＝＝|yA－yB|＝＝4， 3分 即2p2－p－6＝0，解得p＝2或p＝－.因为p>，所以p＝2. 4分 (2)因为F (1，0)，显然直线MN的斜率不可能为零， 设直线MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)w， 5分 由可得y2－4my－4n＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，Δ＝16m2＋16n>0⇒m2＋n>0. 6分 因为·＝0，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0， 亦即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0， 7分 将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得， 4m2＝n2－6n＋1，4(m2＋n)＝(n－1)2>0，所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，解得n≥3＋2或n3－2. 8分 设点F到直线MN的距离为d，所以d＝， 9分 |MN|＝＝|y1－y2|＝＝＝2|n－1|，10分 所以△MFN的面积S＝×|MN|×d＝×2|n－1|＝(n－1)2， 11分 而n≥3＋2或n3－2，所以当n＝3－2时，△MFN的面积Smin＝(2－2)2＝12－8. 12分 得步骤分：得分点的步骤有则给分，无则没分，如第(1)问中联立直线与抛物线方程的过程以及根与系数的关系的表示，缺失步骤则扣1分．  得关键分：解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，如第(2)问中·＝0条件的翻译，参数n的取值范围等．  得计算分：圆锥曲线的运算量较大，计算时务必细心，建议检验p的值之后再往后做． 圆锥曲线问题巧在“设”、难在“算” ………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ……………………………………… …………………………………………………………………………………………… ………………………………… …………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………… ………………………………………… 阅卷案例 四字解题 (2022·全国甲卷，T20，12分)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点D(p，0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x 轴时， |MF|＝3. (1)求C的方程； (2)设直线MD，ND与C 的另一个交点分别为A，B，记直线MN, AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程． 读 (1)y2＝2px(p＞0)； (2)MD⊥x轴； (3)|MF|＝3 (1)α，β分别是直线MN，AB的倾斜角； (2)α－β的最大值 想 抛物线的定义转化 (1)斜率与倾斜角的关系； (2)α－β最大值的求法 算 |MF|＝3求p (1)求kMN，kAB； (2)求tan (α－β) 思 转化与化归 设而不求，方程思想 规范解答 满分心得 [解]　(1)抛物线的准线方程为x＝－，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时|MF|＝p＋＝3，所以p＝2， 1分 所以抛物线C的方程为y2＝4x. 2分 (2)设，直线MN的方程为x＝my＋1，由可得y2－4my－4＝0，Δ1＞0，y1y2＝－4. 当直线MN的斜率存在时，由斜率公式可得kMN＝＝， 4分 kAB＝＝， 5分 直线MD的方程为x＝·y＋2，代入抛物线方程可得·y－8＝0，Δ2＞0，y1y3＝－8，所以y3＝2y2，同理可得y4＝2y1， 6分 所以kAB＝＝＝. 7分 又因为直线MN，AB的倾斜角分别为α，β，所以kAB＝tan β＝＝， 8分 若要使α－β最大，则β∈，设kMN＝2kAB＝2k＞0，则tan (α－β