10 第1部分 专题3 强基专题4 立体几何中的动态问题-【提分教练】2024年新高考数学(文科)二轮总复习课件（老教材）

第一部分 高频题型 重难探究 专题三　立体几何 强基专题4　立体几何中的动态问题 1 立体几何中的“动态问题”是指空间中的某些点、线、面的位置是不确定的或可变的一类开放性问题，解答此类问题应该动静结合、化动为静，找到相应的几何关系，具体可以有以下几种解决方法： (1)函数法：某些点、线、面的运动，必然导致某些位置关系或一些变量的变化．变量变化时会引发其他变量的变化，从而建立函数关系，将立体几何问题转化为函数问题来解． (2)解析法：我们常利用空间直角坐标系解决立体几何问题，即实现几何问题代数化．因此利用空间坐标系将空间图形中的若干元素坐标化后，借助向量进行运算和分析，是解决这类问题的常用方法． (3)等价转换法：动和静是相对的，在运动变化过程中，要善于寻找或构造与之相关的一些不变因素，将一些变化的点、线、面进行合理转换，实现变量与不变量的结合． 强基专题4　立体几何中的动态问题 类型1　以静制动(旋转问题、投影问题) 【例1】　把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M′称为图形M在这个平面上的射影．如图，在长方体中，AB＝5，AD＝4，AE＝3.则△EBD在平面EBC上的射影的面积是________. 2　[连接HC，过D作DM⊥CH，连接ME，MB，如图所示，因为BC⊥平面HCD，且DM⊂平面HCD，所以DM⊥BC. 因为BC∩HC＝C，BC⊂平面HCBE，HC⊂平面HCBE，所以DM⊥平面HCBE， 即D在平面HCBE内的射影为M，所以△EBD在平面HCBE上的射影为△EBM. 在长方体ABCD-EFGH中，HC⊥BC，所以四边形EBCH为矩 形，所以△MBE的面积等于△CBE的面积，所以△EBD在 平面EBC上的射影的面积为×4＝2.故答案 为2.] 2 强基专题4　立体几何中的动态问题 在解决立体几何中的“动态”问题时，需从复杂的图形中分化出最简单的具有实质性意义的点、线、面，让几何图形的实质“形销骨立”，即从混沌中找出秩序，是解决“动态”问题的关键． 强基专题4　立体几何中的动态问题 [跟进训练] 1．如图，直线l⊥平面α，垂足为O.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2.点A是直线l上的动点，点B1在平面α内，则点O到线段CD1的中点P的距离的最大值为________． ＋2　[从题图分化出4个点O，A，B1，P，其中△AOB1为直角三角形，固定A，B1，点P的轨迹是在与AB1垂直的平面上且以AB1的中点Q为圆心的圆， 从而OPOQ＋QP＝AB1＋2＝＋2， 当且仅当OQ⊥AB1，且点O，Q，P共线时取到等号，此时直线AB1与平面α成45°角．] ＋2 强基专题4　立体几何中的动态问题 类型2　动点轨迹问题 【例2】　如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AA1，AB的中点，M是正方形ABB1A1内的动点，若C1M∥平面CD1EF，则M点的轨迹长度为________． 　[如图所示，取A1B1的中点H，B1B的中点G，连接GH，C1H，C1G，EG，HF， 可得四边形EGC1D1是平行四边形，所以C1G∥D1E，同理可得C1H∥CF， 因为C1H∩C1G＝C1， 所以平面C1GH∥平面CD1EF. 由M是正方形ABB1A1内的动点可知，若C1M∥平面 CD1EF，则点M在线段GH上， 所以M点的轨迹长度GH＝＝.] 强基专题4　立体几何中的动态问题 空间中动点轨迹问题变化并不多，一般此类问题可以从三个角度进行分析处理，一是从曲线定义或函数关系出发给出合理解释；二是平面与平面交线得直线或线段；三是平面和曲面(圆锥，圆柱侧面，球面)交线得圆、圆锥曲线．很少有题目会脱离这三个方向． 强基专题4　立体几何中的动态问题 [跟进训练] 2．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱AB的中点，动点P在侧面 BCC1B1及其边界上运动，总有AP⊥D1M，则动点P的轨迹长度为________． 　[如图，取BB1中点E，BC中点F，连接AE，EF，AF. 因为D1M在平面ABB1A1的射影为A1M，又A1M⊥AE， 所以D1M⊥AE. 因为D1M在平面ABCD的射影为DM， 又AF⊥DM，所以D1M⊥AF. 又AE∩AF＝A，所以D1M⊥平面AEF，所以P点的轨迹为线段EF，EF的长度为.故答案为.] 强基专题4　立体几何中的动态问题 类型3　翻折问题 【例3】　如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所