06 第1部分 专题2 强基专题2 数列不等式放缩的基本类型-【提分教练】2024年新高考数学(文科)二轮总复习课件（老教材）

第一部分 高频题型 重难探究 专题二　数列 强基专题2　数列不等式放缩的基本类型 1 放缩法证明数列不等式是数列中的难点内容，是高考命题的延伸点．放缩法灵活多变，技巧性要求较高，所谓“放大一点点就太大，缩小一点点又太小”，如何把握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩法的精髓和关键所在！ 强基专题2　数列不等式放缩的基本类型 【例1】　求证：＋…＋＜1(n∈N*)． [分析]　不等式左边可用等比数列前n项和公式求和． [证明]　左边＝＝1－＜1. 【变式】　求证：＋…＋＜1(n∈N*)． [分析]　左边不能直接求和，须先将其通项放缩后再求和． [证明]　∵＜， ∴左边＜＋…＋＝＝1－＜1. 强基专题2　数列不等式放缩的基本类型 放缩法证明与数列求和有关的不等式，若 可直接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要先将通项an放缩后再求和． 强基专题2　数列不等式放缩的基本类型 【例2】　求证：＋…＋＜(n∈N*)． [分析]　左边可用裂项相消法求和，先求和再放缩． [证明]　∵＝， ∴左边＝＝＜. 【变式1】　求证：1＋＋…＋＜2(n∈N*)． [分析]　左边不能直接求和，应先将通项放缩为裂项相消模型后求和． [证明]　∵＜＝(n≥2)， ∴左边＜1＋＋…＋＝1＋1－＜2(n≥2)， 当n＝1时，不等式显然也成立． 强基专题2　数列不等式放缩的基本类型 【变式2】　求证：1＋＋…＋＜(n∈N*)． [分析]　变式2的结论比变式1强，要达目的，须将变式1放缩的“度”进行修正． [证明]　法一：将变式1的通项从第三项开始放缩． ＜＝(n≥3)， 左边＜1＋＋…＋＝1＋＝＜(n≥3)， 当n＝1，2时，不等式显然也成立． 法二：将通项放得比变式1更小一点． ＜＝(n≥2)， 左边＜1＋＝1＋＜1＋＝(n≥2)， 当n＝1时，不等式显然也成立． 强基专题2　数列不等式放缩的基本类型 【变式3】　(2023·四川成都模拟预测改编)已知x∈时，sin x<x，求证：sin ＋sin ＋sin ＋…＋sin <2. [证明]　因为x∈时，sin x<x，所以sin ＋sin ＋sin ＋…＋sin <＋…＋，记S＝＋…＋①， 则S＝＋…＋②， ①－②可得S＝＋…＋， 即S＝＝1－＝1－，所以S＝2－<2， 所以sin ＋sin ＋sin ＋…＋sin <2. 强基专题2　数列不等式放缩的基本类型 放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程中，很多时候要采用“有所保留”的方法，保留数列的第一项或前两项，从数列的第二项或第三项开始放缩，这样才不会使结果放得过大或缩得过小． 常用放缩： (1)＜＝； (2)＜＝＝； (3)＞＝； (4)2()＝＜＝＜＝2()． 强基专题2　数列不等式放缩的基本类型 [跟进训练] 1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，＝2. (1)求数列{an}的通项公式和Sn； (2)记bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜. [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，则＝2，即＝2，解得d＝2.所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，Sn＝n＋×2＝n2. (2)证明：当n＝1时，Tn＝1＜. 当n≥2时，bn＝＝＝＜＝， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＜1＋＝1＋＜1＋＝.综上可知，Tn＜. 强基专题2　数列不等式放缩的基本类型 2．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝，n∈N*. (1)证明：数列是等差数列； (2)证明： |a2|·|a3|·|a4|…|an＋1|>. [证明]　(1)根据题意a1＝0，an＋1＝，n∈N*， 可得an＋1＋1＝，则＝＝2＋， 故＝2，＝＝1， 故数列是以1为首项，2为公差的等差数列． 强基专题2　数列不等式放缩的基本类型 (2)由(1)知，＝1＋2(n－1)＝2n－1，则an＝－1＝， 则|an|＝(n≥2，n∈N*)， 由于＝＝>0， 故|an|＝>(n≥2，n∈N*)． 设S＝|a2|·|a3|·|a4|·…·|an＋1|，则S＝···…·， 且S>···…·， 则S2>···…·····…·＝， 故S >，∴|a2|·|a3|·|a4|·…·|an＋1|>. 强基专题2　数列不等式放缩的基本类型 $$