04 第1部分 专题2 第2讲 数列求和与综合问题-【提分教练】2024年新高考数学(文科)二轮总复习课件（老教材）

第一部分 高频题型 重难探究 专题二　数列 第2讲　数列求和与综合问题 1 【高考定位】　1．常以等差(比)数列的基本运算或数列递推关系为载体，以解答题的形式重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法．2．综合应用性问题主要以选择题、填空题的形式考查考生运用已知知识解决实际问题的能力，难度稍大． 2 索引 01 基础考点1　数列中an与Sn的关系 02 基础考点2　数列求和 03 能力考点　数列中的创新与交汇问题 第2讲　数列求和与综合问题 基础考点1　数列中an与Sn的关系 1．(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝______． －63　[法一：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝－2n-1.所以S6＝＝－63. 法二：由Sn＝2an＋1，得S1＝2S1＋1，所以S1＝－1，当n≥2时，由Sn＝2an＋1得Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即Sn＝2Sn－1－1，所以Sn－1＝2(Sn－1－1)，又S1－1＝－2，所以{Sn－1}是首项为－2，公比为2的等比数列，所以Sn－1＝－2×2n-1＝－2n，所以Sn＝1－2n，所以S6＝1－26＝－63.] －63 2．(全国Ⅱ卷)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________． －　[∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1， ∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.∵Sn≠0，∴＝1，即＝－1. 又＝－1，∴是首项为－1，公差为－1的等差数列． ∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.] － 基础考点1 能力考点 基础考点2 专题限时集训 第2讲　数列求和与综合问题 5 3．(2021·全国乙卷)记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＝2. (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式． [解]　(1)证明：因为bn是数列{Sn}的前n项积，所以n≥2时，Sn＝， 代入＝2可得，＝2，整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝(n≥2)．又＝＝2，所以b1＝，故{bn}是以为首项，为公差的等差数列． (2)由(1)可知，bn＝，则＝2，所以Sn＝，当n＝1时，a1＝S1＝， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝＝－.故an＝ 基础考点1 能力考点 基础考点2 专题限时集训 第2讲　数列求和与综合问题 由Sn与an的关系求an的思路 利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；或者转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an. 提醒：在利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求通项公式时，务必验证n＝1时的情形，看其是否可以与n≥2的表达式合并． 基础考点1 能力考点 基础考点2 专题限时集训 第2讲　数列求和与综合问题 1．[以前n项和的定义为载体求an](2023·四川南充模拟预测)已知数列满足2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝n·2n，则的通项公式为(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝n D．an＝ √ B　[当n＝1时，有2a1＝1·21，所以a1＝1，当n≥2时，由2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝n·2n，2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n-1an－1＝(n－1)·2n-1，两式相减得2nan＝n·2n－(n－1)2n-1＝(n＋1)2n-1，此时，an＝，a1＝1也满足，所以{an}的通项公式为an＝.故选B.] 基础考点1 能力考点 基础考点2 专题限时集训 第2讲　数列求和与综合问题 2．[以an与Sn的关系为载体求Sn]数列{an}中，前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝Sn＋3n(n∈N*，n≥1)，则数列{Sn}的通项公式为Sn＝________． 3n－2n　[∵an＋1＝Sn＋3n＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1＝2Sn＋3n， ∴＝·，∴－1＝，又－1＝－1＝－， ∴数列是首项为－，公比为的等比数列， ∴－1＝－＝－，∴Sn＝3n－2n.] 3n－2n 基础考点1 能力考点 基础考点2 专题限时集训 第2讲　数列求和与综合问题 9 3．[以an与Sn的关系为载体求通项公式](2023·华龙区校级模拟)设Sn是数列{an}的前n项和，a1＝＝an(n≥2)． (1)求{an}的通项； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. [解]　＝an，n≥2，∴n≥2时＝(Sn－Sn－1)， 展开化简