20 第1部分 专题5 强基专题7 抛物线中的阿基米德三角形-【提分教练】2024年新高考数学(文科)二轮总复习讲义（老教材）

　抛物线中的阿基米德三角形 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有非常好的几何性质，它是历年高考和各地模拟考命题的热点，2021年全国乙卷、2019年全国Ⅲ卷等均在此点做了命题． 常用结论 假设抛物线方程为x2＝2py(p>0), 过抛物线准线y＝－上一点P(x0，y0)向抛物线引两条切线，切点分别记为A，B，其坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2). 则以点P和两切点A，B围成的△PAB中，有如下的常见结论： (1)抛物线在A处的切线方程为x1x＝p(y＋y1)， 抛物线在B处的切线方程为x2x＝p(y＋y2)， 直线AB的方程为x0x＝2p·＝p(y0＋y)； (2)直线AB过抛物线的焦点； (3)过F的直线与抛物线交于A，B两点，以A，B分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点P(x0，y0)的轨迹即为抛物线的准线； (4)PF⊥AB； (5)AP⊥PB； (6)若直线AB的中点为M，则PM平行于抛物线的对称轴． 【例】　(2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4. (1)求p的值； (2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 此题的本质是抛物线中的阿基米德三角形，主要借助导数的几何意义，构造齐次式，将三角形的面积用一个变量表示出来，进而求最值． [跟进训练] (2019·全国Ⅲ卷)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. (1)证明：直线AB过定点； (2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $$ 强基专题7　抛物线中的阿基米德三角形 例　解：(1)由题意知M(0，－4)，F，圆M的半径r＝1，所以|MF|－r＝4，即＋4－1＝4，解得p＝2. (2)由(1)知，抛物线方程为x2＝4y， 由题意可知直线AB的斜率存在，设， ，直线AB的方程为y＝kx＋b， 联立 消去y得x2－4kx－4b＝0， 则Δ＝16k2＋16b>0，(※) x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b， 所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝4·. 因为x2＝4y，即y＝，所以y′＝，则抛物线在点A处的切线斜率为，在点A处的切线方程为＝(x－x1)，即y＝. 同理得抛物线在点B处的切线方程为y＝， 联立则 即P(2k，－b)．因为点P在圆M上， 所以4k2＋(4－b)2＝1，　① 且－12k1，－14－b1， 所以－k，3b5，满足(※)式． 设点P到直线AB的距离为d，则d＝， 所以S△PAB＝|AB|·d＝4. 由①得，k2＝＝， 令t＝k2＋b，则t＝，且3b5. 因为t＝在[3，5]上单调递增，所以当b＝5时，t取得最大值，tmax＝5，此时k＝0，所以△PAB面积的最大值为20. 跟进训练 解：(1)证明：设D，A(x1，y1)， 则y1 ＝. 又因为y＝x2时，y′＝x. 所以切线DA的斜率为x1， 故y1＋＝x1(x1－t)，整理得2tx1－2y1＋1＝0. 设B(x2，y2)，同理得2tx2－2y2＋1＝0. A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足直