14 第1部分 专题5 第1讲 直线与圆-【提分教练】2024年新高考数学(文科)二轮总复习讲义（老教材）

圆锥曲线问题巧在“设”、难在“算” 阅卷案例 四字解题 (2023·全国甲卷，T20，12分)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4. (1)求p； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且·＝0，求△MFN面积的最小值． 读 |AB|＝4，求p 求△MFN面积的最小值 想 建立关于p的方程 怎样表示面积 算 联立方程，弦长公式 点F到直线MN的距离为d，弦长|MN|，表示面积并求最小值 思 转化与化归，数学运算 转化与化归，数学运算 规范解答 满分心得 [解]　(1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由可得y2－4py＋2p＝0， 因为Δ＝16p2－8p>0，所以p>. 所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p， 2分 所以|AB|＝＝|yA－yB|＝＝4， 3分 即2p2－p－6＝0，解得p＝2或p＝－.因为p>，所以p＝2. 4分 (2)因为F (1，0)，显然直线MN的斜率不可能为零， 设直线MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)w， 5分 由可得y2－4my－4n＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n， Δ＝16m2＋16n>0⇒m2＋n>0. 6分 因为·＝0，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0， 即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0， 亦即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0， 7分 将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得， 4m2＝n2－6n＋1，4(m2＋n)＝(n－1)2>0， 所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，解得n≥3＋2或n3－2. 8分 设点F到直线MN的距离为d，所以d＝， 9分 |MN|＝＝|y1－y2|＝＝＝2|n－1|， 10分 所以△MFN的面积S＝×|MN|×d＝×2|n－1|＝(n－1)2， 11分 而n≥3＋2或n3－2， 所以当n＝3－2时，△MFN的面积Smin＝(2－2)2＝12－8. 12分 得步骤分：得分点的步骤有则给分，无则没分，如第(1)问中联立直线与抛物线方程的过程以及根与系数的关系的表示，缺失步骤则扣1分． 得关键分：解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，如第(2)问中·＝0条件的翻译，参数n的取值范围等． 得计算分：圆锥曲线的运算量较大，计算时务必细心，建议检验p的值之后再往后做． 　直线与圆 【高考定位】　1．以选择题、填空题的形式考查直线方程、圆的方程的求法．2．与圆有关的切线、弦长问题常结合圆的几何性质、勾股定理及距离等相关知识考查数形结合的意识及数学运算的能力． 基础考点1　直线的方程及应用 (2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　) A．1　　　　B．　　　　C．　　　　D．2 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 求直线方程的方法 求直线方程主要有直接法和待定系数法．直接法是选择适当的形式，直接求出直线方程．待定系数法通常先由条件建立含参数的方程，再将条件代入求参数，即可得到直线方程． 提醒：求直线方程时，应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要验证与x，y轴垂直的特殊情况． 1．[与充分必要条件交汇]已知直线l1：x＋(m＋1)y＋m＝0，l2：mx＋2y＋1＝0，则“l1∥l2”的必要不充分条件是(　　) A．m＝－2 B．m＝1 C．m＝－2或m＝1 D．m＝2或m＝1 2．[与光学性质交汇]在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于(　　) A．2 B．1 C． D． 3．[与不等式交汇]已知直线l1：kx－y＋4＝0与直线l2：x＋ky－3＝0(k≠0)分别过定点A，B，又l1，l2相交于点M，则|MA|·|MB|的最大值为________． 基础考点2　圆的方程及应用 1．(2020·全国Ⅱ卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为(　　) A． B． C． D． 2．(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为____________． 3．(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中