11 第1部分 专题4 第1讲 统计与统计案例-【提分教练】2024年新高考数学(文科)二轮总复习讲义（老教材）

概率与统计问题重在“辨”——辨析、辨型 阅卷案例 (2020·全国Ⅲ卷)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)： 　　　锻炼人次 空气质量等级 [0，200] (200，400] (400，600] 1(优) 2 16 25 2(良) 5 10 12 3(轻度污染) 6 7 8 4(中度污染) 7 2 0 (1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率； (2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； (3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 人次400 人次>400 空气质量好 空气质量不好 附：K2＝. P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 . 四字解题 读 想 算 思 分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率； 一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值； 是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关 如何估算事件的概率； 如何估算事件的平均值； 独立性检验的公式使用 代入概率的估算公式计算；代入平均值的估算公式计算； 通过列联表，代入公式计算 数学计算能力； 数学计算能力； 概率模型化，数学计算能力 规范解答 满分心得 [解]　(1)该市一天的空气质量等级为1的概率为： ＝； 1分 该市一天的空气质量等级为2的概率为：＝； 2分 该市一天的空气质量等级为3的概率为：＝； 3分 该市一天的空气质量等级为4的概率为：＝. 4分 (2)由题意可得：一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为： ＝×[100×(2＋5＋6＋7)＋300×(16＋10＋7＋2)＋500×(25＋12＋8＋0)]＝350. 7分 (3)根据所给数据，可得下面的2×2列联表， 人次400 人次>400 总计 空气质量好 33 37 70 空气质量不好 22 8 30 总计 55 45 100 9分 由表中数据可得：K2＝＝≈5.820>3.841， 11分 所以有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关． 12分 得步骤分：得分点的步骤有则给分，无则没分．如第(1)问中空气质量等级为1的概率不写步骤，直接写答案容易造成扣分；又如第(3)问中K2的公式代入过程，缺失步骤则扣分． 得关键分：解答过程中的关键点，有则给分，无则没分，如第(3)问中K2的计算结果，一般要求将答案保留到小数点后3位． 得计算分：计算准确是得满分的重要保证．如平均值的计算，有些学生会列式但结果算不对． 　统计与统计案例 【高考定位】　1．主要以选择题、填空题的形式考查样本的数字特征的计算、统计图表的分析，难度较小．2．以实际问题为背景，考查线性回归方程的求解与运用、独立性检验问题，常与概率综合命题，中等难度. 基础考点1　用样本估计总体 1．(2019·全国Ⅱ卷)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是(　　) A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 2．(2022·全国甲卷)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图： 则(　　) A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 3．(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)，试验结果如下： 试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩 率xi 545 533 551 522 575 544 541