10 第1部分 专题3 强基专题4 立体几何中的动态问题-【提分教练】2024年新高考数学(文科)二轮总复习讲义（老教材）

　立体几何中的动态问题 立体几何中的“动态问题”是指空间中的某些点、线、面的位置是不确定的或可变的一类开放性问题，解答此类问题应该动静结合、化动为静，找到相应的几何关系，具体可以有以下几种解决方法： (1)函数法：某些点、线、面的运动，必然导致某些位置关系或一些变量的变化．变量变化时会引发其他变量的变化，从而建立函数关系，将立体几何问题转化为函数问题来解． (2)解析法：我们常利用空间直角坐标系解决立体几何问题，即实现几何问题代数化．因此利用空间坐标系将空间图形中的若干元素坐标化后，借助向量进行运算和分析，是解决这类问题的常用方法． (3)等价转换法：动和静是相对的，在运动变化过程中，要善于寻找或构造与之相关的一些不变因素，将一些变化的点、线、面进行合理转换，实现变量与不变量的结合． 类型1　以静制动(旋转问题、投影问题) 【例1】　把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M′称为图形M在这个平面上的射影．如图，在长方体中，AB＝5，AD＝4，AE＝3.则△EBD在平面EBC上的射影的面积是________. [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 在解决立体几何中的“动态”问题时，需从复杂的图形中分化出最简单的具有实质性意义的点、线、面，让几何图形的实质“形销骨立”，即从混沌中找出秩序，是解决“动态”问题的关键． [跟进训练] 1．如图，直线l⊥平面α，垂足为O.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2.点A是直线l上的动点，点B1在平面α内，则点O到线段CD1的中点P的距离的最大值为________． 类型2　动点轨迹问题 【例2】　如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AA1，AB的中点，M是正方形ABB1A1内的动点，若C1M∥平面CD1EF，则M点的轨迹长度为________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 空间中动点轨迹问题变化并不多，一般此类问题可以从三个角度进行分析处理，一是从曲线定义或函数关系出发给出合理解释；二是平面与平面交线得直线或线段；三是平面和曲面(圆锥，圆柱侧面，球面)交线得圆、圆锥曲线．很少有题目会脱离这三个方向． [跟进训练] 2．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱AB的中点，动点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，总有AP⊥D1M，则动点P的轨迹长度为________． 类型3　翻折问题 【例3】　如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 在解决立体几何中的“动态”问题时，对于一些很难把握的运动模型(规律)的求值问题，可以通过构建某个变量的函数，以数解形． [跟进训练] 3．如图，直角梯形ABCD中，四边形BCDE为正方形，AB＝BC，将△ABE沿BE边折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体A-BCDE中有如下描述： ①AB⊥CE； ②平面ABC⊥平面ADC； ③AB与DE所成角的正切值是； ④直线EA与平面ADB所成角为45°. 以上描述正确的有________．(把所有正确描述的序号都填上) 类型4　动态最值问题 【例4】　如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值为(　　) A．5 B．5 C．2 D．3 [听课记