09 第1部分 专题3 强基专题3 立体几何中的截面问题-【提分教练】2024年新高考数学(文科)二轮总复习讲义（老教材）

　立体几何中的截面问题 在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体(包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等)，得到的平面图形叫做截面．截面问题的关键是寻找交线，一是通过寻找两个平面的公共点确定交线，二是通过线面平行、面面平行的性质定理寻找交线．在计算时，注意与解三角形、多边形面积、扇形弧长、面积等相结合，或者利用空间向量的坐标运算求解． 【例】　(1)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，直线AC1⊥平面α.平面α截此正方体所得截面有如下四个结论： ①截面形状可能为正三角形； ②截面形状可能为正方形； ③截面形状不可能是正五边形； ④截面面积最大值为3. 其中所有正确结论的选项是(　　) A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ (2)(2020·新高考Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________． (3)(2023·碑林区校级期末)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，若M，N分别是CC1，A1D1的中点，作出过M，N，B三点的截面，则这截面的周长为________. [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 截面形状及相应面积的求法 (1)结合线面平行、垂直的判定定理与性质定理求截面问题； (2)猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等； (3)建立函数模型求最值问题：①设元；②建立二次函数模型；③求最值． [跟进训练] 1．(2023·平遥县校级期中)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，P为DD1的中点，过PB的平面α分别与棱AA1，CC1交于点E，F，且AC∥α，则截面四边形PEBF的面积为________． 2．如图，四面体A-BCD中，AD＝BC＝2，AD⊥BC，截面四边形EFGH满足EF∥BC，FG∥AD，则下列结论错误的是(　　) A．四边形EFGH的周长为定值 B．四边形EFGH的面积为定值 C．四边形EFGH为矩形 D．四边形EFGH的面积有最大值1 3．在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝3，PB＝4，PC＝5，点E为线段PC的中点，过点E作该三棱锥外接球的截面，则所得截面圆的面积不可能为(　　) A．6π B．8π C．10π D．12π 学科网（北京）股份有限公司 $$ 强基专题3　立体几何中的截面问题 例　(1)D　(2)　(3)　[(1)显然①③成立，②错误，下面说明④成立， 如图，当截面是正六边形时，面积最大，MN＝2，GH＝，OE＝＝， 所以S＝2××(2)×＝3， 故④成立．故选D. (2)如图，连接B1D1，易知△B1C1D1为正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2.分别取B1C1，BB1，CC1的中点M，G，H，连接D1M，D1G，D1H，则易得D1G＝D1H＝＝，D1M⊥B1C1，且D1M＝.由题意知G，H分别是BB1，CC1与球面的交点．在侧面BCC1B1内任取一点P，使MP＝，连接D1P，则D1P＝＝＝，连接MG，MH，易得MG＝MH＝，故可知以M为圆心，为半径的圆弧GH为球面与侧面BCC1B1的交线．由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，所以的长为×2π×＝. (3)连接BM，因为平面AA1D1D∥平面BCC1B1，所以截面与两平面的交线平行， 过点N作NF∥BM交AA1于点F，连接BF， 同理过点M作ME∥BF交C1D1于E，连接NE， 则五边形BMENF即为所求截面， 因为C1M∥BB1，M是CC1的中点， 所以△BCM≌△PC1M，可得C1P＝BC＝2， 因为△ND1E∽△PC1E，所以＝＝， 所以D1E＝EC1，可得D1E＝，EC1＝，A1Q＝D1E＝， 因为A1F∥BB1，所以＝＝＝，所以A1F＝，AF＝， 所以BF＝＝，FN＝＝，NE＝＝，EM＝＝， BM＝＝， 所以截面五边形BMENF的周长为＝. 故答案为.] 跟进训练 1．2　[如图，过点B作AC的平行线分别与DA，DC的延长线交于G，H，连接PG，PH，并分别与AA1，CC1交于E，F， ∵AC∥GH，且AC⊄平面PGH，GH⊂平面PGH， ∴AC∥平面PGH，∴平面PGH即为平面α， ∵AB＝AD＝2，AA1＝4，∴AE＝1， ∵四边形PEBF是菱形，且EF＝2，PB＝2，∴S四边形PEBF＝×EF×PB＝2. 故答案为2.] 2．B　[因为EF∥BC，EF⊄平面BC