06 第1部分 专题2 强基专题2 数列不等式放缩的基本类型-【提分教练】2024年新高考数学(文科)二轮总复习讲义（老教材）

学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com□ 您身边的互联网+教辅专家 强基专题2 数列不等式放缩的基本类型 体概片 放缩法证明数列不等式是数列中的难点内容，是高考命题的延伸点，放缩法 灵活多变，技巧性要求较高，所谓“放大一点点就太大，缩小一点点又太小”， 如何把握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩法的精髓和关键所 在！ 【例1】求证：主+京+克+…+京<10n∈N, [分析]不等式左边可用等比数列前n项和公式求和， [听课记录] 【变式】 求证：京+本+本十+本<1(n∈N门 [分析]左边不能直接求和，须先将其通项放缩后再求和 [听课记录] …反思领悟 放缩法证明与数列求和有关的不等式，若 X 可直接求和，就先求和再放缩：若不能直接求和的，一般要先将通项a放缩后 再求和. 独家授权侵权必究· 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 【例2】求证：☆++☆十…+2m2+可<neN) [分析]左边可用裂项相消法求和，先求和再放缩。 [听课记录] 【变式1】 求证：1+京+京+…+是<2neN [分析]左边不能直接求和，应先将通项放缩为裂项相消模型后求和， [听课记录] 【变式2】 求证：1+分+++京<∈N门. 一题多解 [分析]变式2的结论比变式1强，要达目的，须将变式1放缩的“度”进行修 正， [听课记录] 【变式3】(2023·四川成都模拟预测改编)已知x∈(0，+oo)时，sin心，求 证：sim是+sin子+sim是+…十sin29器-2 [听课记录] 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com☐ 您身边的互联网+教辅专家 …反思领悟… 放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程中，很多时候要采用“有所保留”的 方法，保留数列的第一项或前两项，从数列的第二项或第三项开始放缩，这样才 不会使结果放得过大或缩得过小 常用放缩： 哈<高=点： 2)哈<南=+可=（点本）： )a>=合市： ④2V+1-)=a+m<店=<a=2-a-1), [跟进训练] 1.已知等差数列{a的前n项和为S若a=1,晋=2 (I)求数列{an}的通项公式和Sw: (2)记b,=立，数列{bn的前n项和为T,求证：T,<是 [听课记录] 中中””””””””””” -a2 2. 已知数列{an}满足a=0,an+1=2车，n∈N (1)证明： 数列{本}是等差数列 (2)证明： la2·las·lad…am+iP√2i [听课记录] 独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 提示}请完成《高考热点强化（二）》见第129项 ·独家授权侵权必究· 强基专题2　数列不等式放缩的基本类型 例1　证明：左边＝＝1－＜1. 变式 证明：∵＜， ∴左边＜＋…＋＝＝1－＜1. 例2　证明：∵＝， ∴左边＝＝＜. 变式1 证明：∵＜＝(n≥2)， ∴左边＜1＋＋…＋＝1＋1－＜2(n≥2)， 当n＝1时，不等式显然也成立． 变式2 证明：法一：将变式1的通项从第三项开始放缩． ＜＝(n≥3)， 左边＜1＋＋…＋＝1＋＝＜(n≥3)， 当n＝1，2时，不等式显然也成立． 法二：将通项放得比变式1更小一点． ＜＝(n≥2)， 左边＜1＋＝1＋＜1＋＝(n≥2)， 当n＝1时，不等式显然也成立． 变式3 证明：因为x∈时，sin x<x， 所以sin ＋sin ＋sin ＋…＋sin <＋…＋， 记S＝＋…＋①， 则S＝＋…＋②， ①－②可得S＝＋…＋， 即S＝＝1－＝1－， 所以S＝2－<2， 所以sin ＋sin ＋sin ＋…＋sin <2. 跟进训练 1．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则＝2，即＝2，解得d＝2. 所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1， Sn＝n＋×2＝n2. (2)证明：当n＝1时，Tn＝1＜. 当n≥2时，bn＝＝＝ ＜＝， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＜1＋＝1＋＜1＋＝. 综上可知，Tn＜. 2．证明：(1)根据题意a1＝0，an＋1＝，n∈N*， 可得an＋1＋1＝，则＝＝2＋， 故＝2，＝＝1， 故数列是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)知，＝1＋2(n－1)＝2n－1，则an＝－1＝， 则|an|＝(n≥2，n∈N*)， 由于＝＝>0， 故|an|＝>(n≥2，n∈N*)． 设S＝|a2|·|a3|·|a4|·…·|an＋1|， 则S＝···…·， 且S>···…·， 则S2>···…·····…·＝， 故S>，∴|a2|·|a3|·|a4|·…·|an＋1|>. 学科网（北京）股份有限公司 $$