03 第1部分 专题2 第1讲 等差数列、等比数列-【提分教练】2024年新高考数学(文科)二轮总复习讲义（老教材）

数列问题重在“归”——归纳、化归 阅卷案例 四字解题 (2023·全国甲卷，T17，12分)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和Tn. 读 a2＝1，2Sn＝nan 求数列的前n项和Tn 想 Sn与an的关系求通项公式 数列求和方法 算 对应等式作差求an的递推关系式，构造新数列求通项公式 数列求和 思 转化与化归，构造思想 错位相减法 规范解答 满分心得 [解]　(1)当n＝1时，2S1＝a1，即2a1＝a1， 所以a1＝0. 1分 当n≥2时，由2Sn＝nan，得2Sn－1＝(n－1)an－1， 两式相减得2an＝nan－(n－1)an－1， 即(n－1)an－1＝(n－2)an， 3分 当n＝2时，可得a1＝0， 故当n≥3时，＝， 则··…·＝··…·， 整理得＝n－1， 因为a2＝1，所以an＝n－1(n≥3)． 5分 当n＝1，n＝2时，均满足上式，所以an＝n－1. 6分 (2)令bn＝＝， 7分 则Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝＋…＋，　① Tn＝＋…＋，　② 10分 由①－②得Tn＝＋…＋＝＝1－， 11分 即Tn＝2－. 12分 得步骤分：得分点的步骤有则给分，无则没分．如第(1)问中求时要检验n＝1，2时也满足an＝n－1，不检验扣1分． 得关键分：解题过程中的关键点，有则给分，无则没分．如第(2)问中Tn＝1×＋2×＋…＋(n－1)×＋n×等． 得计算分：计算准确是得满分的保证． 　等差数列、等比数列 【高考定位】　1．对等差、等比数列的基本量运算及其性质的考查主要以选择题、填空题为主；对等差、等比数列的判定与证明主要以解答题为主．2．常与数学文化交汇命题，难度中等偏下． 基础考点1　等差(比)数列的基本运算 1．(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为S n，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　　) A． B． C．15 D．40 2．(2020·全国Ⅱ卷)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 3．(2020·新高考Ⅰ卷)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________． 4．(2020·全国Ⅲ卷)设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8. (1)求{an}的通项公式； (2)设Sn为数列{log3an}的前n项和．若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m. [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 等差(比)数列基本运算的解题途径 (1)设基本量a1和公差d(公比q)． (2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量． 提醒：对含有字母的等比数列求和时要注意q＝1或q≠1的情况，公式Sn＝只适用于q≠1的情况． 1．[基本量运算]记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则下列选项错误的是(　　) A．a2＋a3＝0 B．an＝2n－5 C．Sn＝n(n－4) D．d＝－2 2．[等差与等比的基本量综合问题](2023·淄博期中)已知数列{an}是公比为q的等比数列，若2a1＝a3a4，且a5是a4与－6的等差中项，则的值是(　　) A．3 B．－1或3 C．2 D．1或2 3．[数列与数学文化交汇]我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、对角线的三个数之和都等于15，如图所示． 一般地，将连续的正整数1，2，3，…，n2填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n阶幻方．记n阶幻方的数的和即方格内的所有数的和为Sn，如图三阶幻方记为S3＝45，那么S9＝(　　) A．3 321 B．361 C．99 D．33 基础考点2　等差(比)数列的性质 1．(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A．120 B．85 C．