26 第1部分 专题6 第4讲 利用导数证明不等式-【提分教练】2024年新高考数学(理科)二轮总复习课件（老教材）

第一部分 高频题型 重难探究 专题六　函数、导数和不等式 第4讲　利用导数证明不等式 1 能力考点1　单变量不等式的证明 (2023天津卷节选)已知函数f (x)＝ln (x＋1)． (1)求曲线y＝f (x)在x＝2处切线的斜率； (2)当x>0时，证明：f (x)>1． [解]　(1)由题意，得f ′(x)＝－ln (x＋1)＋， 所以f ′(2)＝，故曲线y＝f (x)在x＝2处切线的斜率为． (2)证明：要证x>0时，f (x)>1，即证当x>0时，ln (1＋x)>1， 即证当x>0时，ln (1＋x)>． 构造g(t)＝ln t－(t>1)，则g′(t)＝>0， 所以函数g(t)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(t)>g(1)＝0，所以ln t>(t>1)． 令x＋1＝t(x>0)，则ln (x＋1)>(x>0)， 所以当x>0时，ln (x＋1)>1，即f (x)>1． 单变量不等式的证明方法 (1)移项法：证明不等式f (x)＞g(x)(f (x)＜g(x))的问题转化为证明f (x)－g(x)＞0 (f (x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f (x)－g(x)； (2)最值法：欲证f (x)＜g(x)，有时可以证明f (x)max＜g(x)min； (3)放缩法：在证明相关不等式时，若能灵活运用ex≥x＋1，ln x≤x－1这两个不等式和不等式ex≥ex，ln x≤x，ln x≥1－进行放缩，往往事半功倍．一般地，有ef (x)≥f (x)＋1，ln g(x)≤g(x)－1，扩大了应用范围 能力考点1 能力考点2 专题限时集训 第4讲　利用导数证明不等式 1．[与ex，ln x有关的不等式证明问题]已知函数f (x)＝1－ln x，x∈(0，1)，求证：＜1． [证明]　 法一：(最值法)因为x∈(0，1)， 所以欲证＜1，只需证＜1， 即证x(1－ln x)＜(1＋x－x3)ex． 设函数g(x)＝x(1－ln x)，则g′(x)＝－ln x． 当x∈(0，1)时，g′(x)＞0， 故函数g(x)在(0，1)上单调递增，所以g(x)＜g(1)＝1． 能力考点1 能力考点2 专题限时集训 第4讲　利用导数证明不等式 设函数h(x)＝(1＋x－x3)ex，则h′(x)＝(2＋x－3x2－x3)ex． 设函数p(x)＝2＋x－3x2－x3，则p′(x)＝1－6x－3x2． 当x∈(0，1)时，p′(0)p′(1)＝－8＜0，故存在x0∈(0，1)，使得p′(x0)＝0， 从而函数p(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，1)上单调递减． 当x∈(0，x0)时，p(x0)＞p(0)＝2，当x∈(x0，1)时，p(x0)p(1)＜－2＜0， 故存在x1∈(0，1)，使得h′(x1)＝0， 即当x∈(0，x1)时，p(x)＞0，当x∈(x1，1)时，p(x)＜0， 从而函数h(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，1)上单调递减． 因为h(0)＝1，h(1)＝e，所以当x∈(0，1)时，h(x)＞h(0)＝1， 所以x(1－ln x)＜(1＋x－x3)ex，x∈(0，1)，即＜1，x∈(0，1)． 法二：(放缩法)因为x∈(0，1)，所以欲证＜1， 只需证＜1，即证x(1－ln x)＜(1＋x－x3)ex． 设函数g(x)＝x(1－ln x)，则g′(x)＝－ln x， 当x∈(0，1)时，g′(x)＞0，故函数g(x)在(0，1)上单调递增．所以g(x)＜g(1)＝1． 设函数h(x)＝(1＋x－x3)ex，x∈(0，1)， 因为x∈(0，1)，所以x＞x3，所以1＋x－x3＞1， 又1＜ex＜e，所以h(x)＞1， 所以g(x)＜1＜h(x)，即原不等式成立． 法三：(放缩法)因为x∈(0，1)，所以欲证＜1， 只需证＜1，由于1－ln x＞0，ex＞e0＝1， 则只需证明1－ln x＋x2－＜1，只需证明ln x－x2＋＞0， 令g(x)＝ln x－x2＋，则当x∈(0，1)时，g′(x)＝＜＜0， 则函数g(x)在(0，1)上单调递减，则g(x)＞g(1)＝0， 所以ln x－x2＋＞0，即原不等式成立． 2． [与数列有关的不等式证明问题]已知函数f (x)＝a ln x＋x2，其中a∈R且a≠0． (1)当a＝1时，证明：f (x)≤x2＋x－1； (2)求证：对任意的n∈N*且n≥2，都有：<e(其中e≈2.718为自然对数的底数)． [证明]　(1)当a＝1时，f (x)＝ln x＋x2，x>0， 要证明f (x)≤x2＋x－1，即证ln x≤x－1，即证ln x－x＋1≤0， 设g(x)＝ln x－x＋1，则g′(x)＝， 令g′(x)＝0，可得x＝1，当x∈(0，1)