25 第1部分 专题6 第3讲 导数与函数的单调性、极值、最值-【提分教练】2024年新高考数学(理科)二轮总复习课件（老教材）

第一部分 高频题型 重难探究 专题六　函数、导数和不等式 第3讲　导数与函数的单调性、极值、最值 1 基础考点1　导数的运算及其几何意义 1．(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x　　　　B．y＝x　　　　C．y＝　　　　D．y＝ 2 4 1 3 题号 √ C　[由题意可知y′＝，则曲线y＝在点 ＝，所以曲线y＝在点处的切线方程为y－(x－1)，即y＝，故选C．] 2．(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________________． (－∞，－4)∪(0，＋∞)　[∵y＝(x＋a)ex，∴y′＝(x＋1＋a)ex． 设切点为(x0，y0)，则y0＝，切线斜率k＝， 切线方程为(x－x0)，∵切线过原点，∴(－x0)， 整理得＋ax0－a＝0． ∵切线有两条，∴Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0， ∴a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．] (－∞，－4)∪(0，＋∞) 基础考点1 基础考点3 基础考点2 专题限时集训 第3讲　导数与函数的单调性、极值、最值 3．(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝|ex－1|，x1 <0，x2 >0，函数f (x)的图象在点A(x1 ，f (x1)) 和点B(x2，f (x2)) 处的两条切线互相垂直，且分别与y轴交于M，N两点，则的取值范围是________． (0，1)　[当x＜0时，f (x)＝1－ex，f ′(x)＝－ex， f (x)在处的切线斜率为k1＝， 当x＞0时，f (x)＝ex－1，f ′(x)＝ex，f (x)在处的切线斜率为k2＝， 由f (x)图象在A，B两点处的切线互相垂直得，k1k2＝＝－1， ∴x1＋x2＝0，x1＝－x2， ∴∈(0，1)，故的取值范围是(0，1)．] (0，1) 基础考点1 基础考点3 基础考点2 专题限时集训 第3讲　导数与函数的单调性、极值、最值 导数的几何意义 (1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率． (2)曲线“在”某点的切线与曲线“过”某点的切线不同． (3)切点既在切线上，又在曲线上． 基础考点1 基础考点3 基础考点2 专题限时集训 第3讲　导数与函数的单调性、极值、最值 1．[导数的运算与几何意义交汇]已知f (x)＝2cos＋f ′(0)cos x，则曲线y＝f (x)在点处的切线的斜率为(　　) A．　　　　B．－　　　　C．2　　　　D．－2 √ D　[因为f (x)＝2cos＋f ′(0)cos x＝2sin x＋f ′(0)cos x， 所以f ′(x)＝2cos x－f ′(0)sin x，所以f ′(0)＝2， 所以f ′(x)＝2cos x－2sin x， f ′＝2cos －2sin ，故选D．] 基础考点1 基础考点3 基础考点2 专题限时集训 第3讲　导数与函数的单调性、极值、最值 2．[平均变化率与导数的关系](2023·广东广州二模)吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r(V)，r′(V)为r(V)的导函数．已知r(V)在0≤V≤3上的图象如图所示，若0≤V1<V2≤3，给出下列四个结论： ①<；②r′(1)>r′(2)；③r<；④存在V0∈(V1，V2)，使得r′(V0)＝． 其中所有正确结论的编号为(　　) A．①②　　　B．③④　　　C．①③　　　D．② √ 基础考点1 基础考点3 基础考点2 专题限时集训 第3讲　导数与函数的单调性、极值、最值 D　[对于①，设tan α＝，tan θ＝，由题图得α>θ，所以tan α>tan θ，所以>，所以①错误； 对于②，由题图得图象上点的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义得r′(1)>r′(2)，所以②正确； 对于③，设V1＝0，V2＝3，所以r，因为r－r(0)>r(3)－r，所以r>，所以③错误； 对于④， 处切线的斜率，由于V0∈(V1，V2)，所以可以平移直线AB使之与曲线相切，切点就是点C，所以④正确．故选D．] 3．[公切线问题]若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ex的切线，则b＝________． 0或1　[设直线y＝kx＋b与y＝ln x＋2的切点为(x1，y1)，与y＝ex的切点为(x2，y2)，由y＝ln x＋2的导数为y′＝，y＝ex的导数为y′＝ex， 可得k＝，消去x2，可得(1＋ln x1)＝0，则x1＝或1， 则切点为或(1，2)，k＝e或1， 则切线为y＝ex或y＝x＋1，可得b＝0或1．] 0或1 基础考点1 基础考点3 基础考点2 专题限时集训 第3讲　导数与函数的单调性、极值、最值 C　[因为函数f (x)＝aex