24 第1部分 专题6 强基专题9 利用结构相同构造函数-【提分教练】2024年新高考数学(理科)二轮总复习课件（老教材）

第一部分 高频题型 重难探究 专题六　函数、导数和不等式 强基专题9　利用结构相同构造函数 1 类型1　比较大小或解不等式 【例1】　(1)(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y＜3－x－3－y，则(　　) A．ln (y－x＋1)＞0　　　　 B．ln (y－x＋1)＜0 C．ln |x－y|＞0　　　　 D．ln |x－y|＜0 (2)已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec, 则(　　) A．c<b<a　　　　B．b<c<a C．a<c<b　　　　D．a<b<c (3)不等式－x3－5x＞0的解集是______________________． √ √ {x|x＜－2或－1＜x＜1} 强基专题9　利用结构相同构造函数 (1)A　(2)D　(3){x|x＜－2或－1＜x＜1} [(1)由2x－2y＜3－x－3－y移项变形为2x－3－x＜2y－3－y．设f (x)＝2x－3－x， 因为f (x)＝2x－3－x单调递增，故由2x－3－x＜2y－3－y，可得x＜y， 所以y－x＞0⇒y－x＋1＞1，从而ln (y－x＋1)＞0，故选A． (2)法一：往结构相同方向变形，将已知变形为， 设函数f (x)＝，则f ′(x)＝， 所以f (x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以f (3)<f (4)<f (5)，f (c)<f (b)<f (a)，所以a<b<c． 法二：将已知两边取对数：ln a＋5＝ln 5＋a，ln b＋4＝ln 4＋b，ln c＋3＝ln 3＋c， 再往结构相同方向变形：a－ln a＝5－ln 5，b－ln b＝4－ln 4，c－ln c＝3－ln 3， 设函数f (x)＝x－ln x，则f ′(x)＝1－， 所以f (x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以f (3)<f (4)<f (5)，f (c)<f (b)<f (a)，所以a<b<c． (3)原不等式可化为＞x3＋5x． 构造函数f (x)＝x3＋5x，因为y＝x3，y＝5x均单调递增，故f (x)在R上单调递增， 所以＞x，解得x＜－2或－1＜x＜1． 所以原不等式解集是{x|x＜－2或－1＜x＜1}．] 构造函数的策略 (1)直接构造：如果关系式的左右形式相当，一边一个变量，取左或取右，构造函数． (2)变形构造 ：如果关系式的左右形式稍有差异，可适当变形后得到已知中出现的“两个变量”，然后利用结构相同，构造出一个函数，最后利用函数的性质解题． 强基专题9　利用结构相同构造函数 B　[∵－y＞0，x＞0，∴x－y＞0，故②正确；由2－x－2y＞ln x－ln (－y)移项变形为2－x－ln x＞2y－ln (－y)， 设f (x)＝2－x－ln x(x＞0)，易知f (x)是定义在(0，＋∞)上的减函数， 2－x－ln x＞2y－ln (－y)，即f (x)＞f (－y)，可得x＜－y，故x＋y＜0．故④正确；故选B．] √ [跟进训练] 1．若2－x－2y＞ln x－ln (－y)(其中x＞0)，给出下列四个结论： ①y－x＞0；②x－y＞0；③x＋y＞0；④x＋y＜0． 所有正确结论的选项是(　　) A．①③　　　　B．②④　　　　C．①④　　　　D．②③ 强基专题9　利用结构相同构造函数 2．已知0<α<，0<β<，且3α－2sin β＝9β－α，则(　　) A．α<β2　　　　B．α>β2　　　　C．α>2β　　　　D．α<2β D　[设f (x)＝x－sin x，x∈， 则f ′(x)＝1－cos x＞0，即f (x)在上单调递增， 所以f (x)＞f (0)＝0，故x＞sin x， 因为3α－2sin β＝9β－α， 所以3α＋α＝2sin β＋9β＝2sin β＋32β＜2β＋32β，令g(x)＝3x＋x，显然g(x)单调递增，所以g(α)＜g(2β)，所以α＜2β．故选D．] √ 强基专题9　利用结构相同构造函数 7 3．已知两个不相等的正实数x，y满足y ln ，则下列结论一定正确的是 (　　) A．x＋y＝1　　　　B．xy＝1　　　　C．x＋y>2　　　　D．0<x＋y<1 C　[因为y ln ，x>0，y>0，且x≠y， 所以ln ，则ln x－ln y＝，即ln x＋＝ln y＋． 令f (x)＝ln x＋(x>0)，则f ′(x)＝，f (x)＝f (y)， 当x∈(0，1)时，f ′(x)<0，则f (x)单调递减； √ 强基专题9　利用结构相同构造函数 当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，则f (x)单调递增，所以f (x)min＝f (1)＝1， 对于y＝ex－2x(x>1)，总有y′＝ex－2>0，即y＝ex－2x在(1，＋∞)