21 第1部分 专题5 强基专题8 圆锥曲线中的四点共圆问题-【提分教练】2024年新高考数学(理科)二轮总复习课件（老教材）

第一部分 高频题型 重难探究 专题五　解析几何 强基专题8　圆锥曲线中的四点共圆问题 1 1．圆幂定理 如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A，B与C，D，则PA·PB＝PC·PD．那么证明四点共圆问题时，我们可以先用四个点构建一个四边形并用代数式表示出两条对角线的方程之后和圆锥曲线联立，求得PA·PB和PC·PD的值，证明它们相等进而得证四点共圆． 2．圆锥曲线四点共圆定理 若两条直线li：y－y0＝ki(x－x0)(i＝1，2)与二次曲线Γ：ax2＋by2＋cx＋dy＋e＝0(a≠b)有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是k1＋k2＝0． 可推导四点共圆的充要条件为：圆锥曲线上四个不同的点组成的四边形对角线倾斜角互补． 强基专题8　圆锥曲线中的四点共圆问题 【例】　(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1，F2＝2，记M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)设点T在直线x＝＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和． [解]　(1)因为|MF1|－|MF2|＝2＜|F1F2|＝2， 所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支． 设双曲线的方程为＝1(a＞0，b＞0)，半焦距为c，则2a＝2，c＝，得a＝1，b2＝c2－a2＝16，所以点M的轨迹C的方程为x2－＝1(x≥1)． 强基专题8　圆锥曲线中的四点共圆问题 (2)设T，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为0，设直线AB的方程为y－t＝k1(k1≠0)，直线PQ的方程为y－t＝ 由得x2－2k1－16＝0． 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，易知16－≠0，且Δ>0， 则xAxB＝， 所以|TA|＝ |TB|＝ 则|TA|·|TB|＝＝ ＝·． 同理得|TP|·|TQ|＝． 因为|TA|·|TB|＝，所以， 即， 又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0． 故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0． 结论1：若|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，则A，B，P，Q四点共圆，反之亦然． 结论2：若圆锥曲线上四点A，B，C，D共圆，则kAB＋kCD＝0，kAD＋kBC＝0，kAC＋kBD＝0(假设以上各条直线的斜率都存在)，反之亦然． 强基专题8　圆锥曲线中的四点共圆问题 [跟进训练] 设动点P与定点F的距离和P到定直线l：x＝的距离的比是． (1)求动点P的轨迹方程； (2)设动点P的轨迹为曲线C，不过原点O且斜率为的直线l与曲线C交于不同的A，B两点，线段AB的中点为M，直线OM与曲线C交于C，D两点，证明：A，B，C，D四点共圆． [解]　(1)设P(x，y)，因为动点P与定点F的距离和P到定直线l：x＝的距离的比是，所以，整理化简得＋y2＝1． 所以动点P的轨迹方程为＋y2＝1． 强基专题8　圆锥曲线中的四点共圆问题 (2)证明：设直线l的方程为y＝x＋m(m≠0)， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程组 得x2＋2mx＋2m2－2＝0，① 方程①的判别式为Δ＝4(2－m2)， 由Δ>0，得2－m2>0，解得－<m<． 由①得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2． 所以M点坐标为， 直线OM方程为y＝－x， 由方程组得C． 所以|MC|·|MD|＝·＝(2－m2)． 又|MA|·|MB|＝2＝[(x1－x2)2＋(y1－y2)2] ＝[(x1＋x2)2－4x1x2]＝[4m2－4(2m2－2)]＝(2－m2)． 所以|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|． 所以A，B，C，D四点共圆． $$