19 第1部分 专题5 第5讲 圆锥曲线中的存在性、证明问题-【提分教练】2024年新高考数学(理科)二轮总复习课件（老教材）

第一部分 高频题型 重难探究 专题五　解析几何 第5讲　圆锥曲线中的存在性、证明问题 1 能力考点1　“肯定顺推法”求解存在性问题 (2019·全国Ⅰ卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切． (1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径； (2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由． [解]　(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|． 由已知得|AO|＝2，又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4． 故⊙M的半径r＝2或r＝6． (2)存在定点P(1，0)，使得|MA|－|MP|为定值． 理由如下： 设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|， |AO|＝2． 由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x． 因为曲线C：y2＝4x是以点P(1，0)为焦点， 以直线x＝－1为准线的抛物线， 所以|MP|＝x＋1． 因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P． 肯定顺推法求解存在性问题 先假设满足条件的元素(点、直线、曲线、参数等)存在，用待定系数法设出，并列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线、参数等)存在；否则，元素(点、直线、曲线、参数等)不存在． 能力考点1 能力考点2 专题限时集训 第5讲　圆锥曲线中的存在性、证明问题 1．[数量关系的存在性问题]在平面直角坐标系中，已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，右焦点F，且椭圆C过点 ，过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P在x轴的上方)． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ， 使得k1＋λk2＝0？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由． 能力考点1 能力考点2 专题限时集训 第5讲　圆锥曲线中的存在性、证明问题 [解]　(1)因为椭圆C过点， 则有解得 所以椭圆C的标准方程为＝1． (2)假设存在常数λ，使得k1＋λk2＝0．由题意可设直线l的方程为x＝my＋2，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由 得(5m2＋9)y2＋20my－25＝0， Δ＝900(m2＋1)>0， y1＋y2＝－， －λ＝． 又因为 ＋ ＝ 1，即 ＝ －， 即， 所以－λ＝＝， 即－λ＝＝＝＝， 即λ＝－，所以存在常数λ使得k1＋λk2＝0． 2．[图形的存在性问题]已知椭圆C：＝1，不平行于坐标轴的直线l过右焦点F2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使得△ABD为正三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． [解]　设直线l：y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， Δ＝64k4－4(3＋4k2)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0， ∴x1＋x2＝， 能力考点1 能力考点2 专题限时集训 第5讲　圆锥曲线中的存在性、证明问题 ∴y1＋y2＝k(x1－1)＋k(x2－1)＝k(x1＋x2)－2k＝k·， 设AB的中点为M，则M， 假设存在点D，则MD的直线方程为y＋， ∴D，∴|AB|＝＝＝， |MD|＝＝， 若△ABD为等边三角形，则|MD|＝，， 即23k2＋27＝0，方程无实数解， ∴不存在这样的点D． 【教师备选题】 [图形的存在性问题]已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上一点，线段MF1与圆x2＋y2＝1相切于该线段的中点N，且△MF1F2的面积为2． (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C上是否存在三个点A，B，P，使得直线AB过椭圆C的左焦点F1，且四边形OAPB是平行四边形？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由． 能力考点1 能力考点2 专题限时集训 第5讲　圆锥曲线中的存在性、证明问题 [解]　(1)∵|ON|＝1，且ON是△MF1F2的中位线， ∴|MF2|＝2|ON|＝2，MF1⊥MF2， 由椭圆的定义可知，|MF1|＝2a－|MF2|＝2a－2， 又∵△MF1F2的面积为2，∴(2a－2)×2＝2， ∴a＝2，∴|MF1|＝2， ∴|F1F2|＝，即2c＝2，∴c＝， ∴b2＝a2－c2＝2， ∴椭圆C的方程为＝1． (2)存在，理由如下： ①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝此时椭圆上不存在符合题意的点P． ②当直线A