18 第1部分 专题5 第4讲 圆锥曲线中的定点、定值问题-【提分教练】2024年新高考数学(理科)二轮总复习课件（老教材）

第一部分 高频题型 重难探究 专题五　解析几何 第4讲　圆锥曲线中的定点、定值问题 1 能力考点1　定点问题 1．(2023·全国乙卷)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，点A(－2，0)在C上． (1)求C的方程； (2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点． [解]　(1)因为点A(－2，0)在C上，所以＝1，得b2＝4． 因为椭圆的离心率e＝，所以c2＝a2，又a2＝b2＋c2＝4＋a2，所以a2＝9，c2＝5， 故椭圆C的方程为＝1． (2)由题意知，直线PQ的斜率存在且不为0，设lPQ：y－3＝k(x＋2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由得(4k2＋9)x2＋(16k2＋24k)x＋16k2＋48k＝0， 则Δ＝(16k2＋24k)2－4(4k2＋9)(16k2＋48k)＝－36×48k>0， 故x1＋x2＝－． 直线AP：y＝(x＋2)， 令x＝0，解得yM＝，同理得yN＝， 则yM＋yN＝2× ＝2×＝2× ＝2×＝2×＝6． 所以MN的中点的纵坐标为＝3，所以MN的中点为定点(0，3)． 2．(2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B两点． (1)求E的方程； (2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． [解]　(1)设椭圆E的方程为mx2＋ny2＝1，因为过A(0，－2)，B， 则解得m＝，所以椭圆E的方程为＝1． 能力考点1 能力考点2 专题限时集训 第4讲　圆锥曲线中的定点、定值问题 (2)证明：因为A(0，－2)，B，所以直线AB的方程为y＋2＝x， ①若过点P(1，－2)的直线斜率不存在，直线x＝1，代入＝1， 可得M，代入直线AB的方程y＝x－2，可得T，由得到H．求得直线HN的方程为y＝x－2，过点(0，－2)． ②若过点P(1，－2)的直线斜率存在，设过点P的直线方程为kx－y－(k＋2)＝0，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 联立得(3k2＋4)x2－6k(2＋k)x＋3k(k＋4)＝0，Δ>0， 可得且x1y2＋x2y1＝(*)， 联立可得T，H(3y1＋6－x1，y1)． 可求得此时HN：y－y2＝(x－x2)， 将(0，－2)代入整理得2(x1＋x2)－6(y1＋y2)＋x1y2＋x2y1－3y1y2－12＝0， 将(*)代入，得24k＋12k2＋96＋48k－24k－48－48k＋24k2－36k2－48＝0，显然成立， 综上，可得直线HN过定点(0，－2)． 【教师备选题】 (2020·全国Ⅰ卷)已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，＝8．P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． (1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点． [解]　(1)由题设得A(－a，0)，B(a，0)，G(0，1)． 则＝(a，1)，＝(a，－1)．由＝8，得a2－1＝8，即a＝3． 所以E的方程为＋y2＝1． 能力考点1 能力考点2 专题限时集训 第4讲　圆锥曲线中的定点、定值问题 (2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)． 若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，由题意可知－3<n<3． 由于直线PA的方程为y＝(x＋3)，所以y1＝(x1＋3)． 直线PB的方程为y＝(x－3)， 所以y2＝(x2－3)．可得3y1(x2－3)＝y2(x1＋3)． 由于＝1，故，可得27y1y2＝－(x1＋3)(x2＋3)，即(27＋m2)·y1y2＋m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0．　① 将x＝my＋n代入＋y2＝1，得(m2＋9)y2＋2mny＋n2－9＝0． △>0， 所以y1＋y2＝－． 代入①式得(27＋m2)(n2－9)－2m(n＋3)mn＋(n＋3)2(m2＋9)＝0． 解得n＝－3(舍去)或n＝． 故直线CD的方程为x＝my＋，即直线CD过定点． 若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，过点． 综上，直线CD过定点． 动线过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)． (2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 能力考点1 能力考点2 专题限时集训 第4讲　圆锥曲线中的定点、定值问题 1．[直线过定点的模型]已知椭圆C：＋y2＝1，点P(0，1)，设直线l不经过P点且与C